Valores absolutos de caracteres irreducibles complejos de grupos finitos

Question

Yo tenía algunas preguntas sobre el complejo irreductible de caracteres de grupos finitos, que son principalmente en la aritmética de la naturaleza. También puedo mencionar aquí que yo estoy considerando sólo $\mathbb{C}$-irreductible de caracteres de grupos finitos.

Si $\chi$ es una irreductible $\mathbb{C}$-el carácter de un grupo finito $G$, entonces uno puede ver que $|\chi(g)|\leq |G|$ cualquier $g\in G$. Mi pregunta es sobre el lado opuesto de este hecho. Para evitar la trivialidad, no tenemos en cuenta a cero los valores de los caracteres.

Pregunta 1. ¿Hay límite inferior en $\{|\chi(g)|:g\in G\}\setminus \{0\}$?

Para la segunda pregunta, es bien conocido que los valores de los caracteres son algebraica de los números enteros, y también lo son sus valores absolutos (estoy en lo cierto?). Pero, los valores absolutos son también números reales. Esto me obligó a considerar la pregunta:

Pregunta 2. Considere la posibilidad de los números reales que son los valores absolutos de irreductible $\mathbb{C}$-caracteres de grupos finitos. Es este conjunto denso en $\mathbb{R}$?

La tercera pregunta fue la causa de la propiedad básica de los personajes.

Pregunta 3. Dado cualquier entero algebraico, no existe un número finito de grupo que toma este valor para algunos irreductible carácter? (En otras palabras, cualquier algebraicas entero se encuentra en la tabla de caracteres de algunos finito grupo?)

Answer 1

Respuestas:

1. No. Una forma de ver esto es que todos los números enteros de cyclotomic campos producirse como los valores de los caracteres. Entre ellos se encuentran los números de la forma $2-2\cos(\pi/n)$ para cualquier entero positivo $n$, y esos que se hacen arbitrariamente cercano a cero.
2. Sí. Todos los enteros algebraicos de todos los cyclotomic campos de producirse (ver respuesta anterior). Aquellos que forman un denso conjunto (considerar múltiplos enteros de los números que he usado en la parte 1).
3. No. Los valores de los caracteres de grupos finitos son las sumas de las raíces de la unidad. Los que residen en el interior de abelian extensiones de Galois de $\Bbb{Q}$. Esto significa que algebraicas de los números enteros como $\root3\of2$ no puede producirse como los valores de los caracteres de un grupo finito.