contando el número de ceros reales, y encuentra la limitación

Question

Deje$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ $

deja$c_n$ ser el número de ceros reales de$P_n$.

determinar$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{c_n}{2n+1}$ $

Answer 1

Esta es una respuesta parcial que ofrece un límite inferior para el número de raíces reales. De acuerdo a Taylor teorema para cualquier $x \in \mathbb{R}$ existe $\xi \in [-x, x]$ tal que

$$ \sin(x) = P_n(x) + \frac{\frac{\partial^{2n+3} \pecado}{\partial x^{2n+3}}(\xi)\,x^{2n+3}}{(2n + 3)!} $$

y, en particular, $$\left|\sin(x) - P_n(x)\right| \leq \frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}.$$ Así que si $\sin(x)$ $1$ $-1$en algunos intervalo de $[a, b]$ (o de$-1$$1$) y

$$\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!} < 1$$

en $[a,b]$ $P_n(x)$ debe tener una raíz en $[a,b]$. Ahora uso que $$e \left(\frac{n}{e}\right)^n \leq n!$$ to see that this inequality certainly holds for $|x| \leq \frac{2n+3}{e}$. This shows that $P_n(x)$ has at least $$ \frac{4n+6}{\pi e} - 2$$ las raíces reales.

Answer 2

Por Fundamentales Teorem de Álgebra tenemos el número de ceros de $P_n(x)$ no es más que $2n+1$. El uso de la fellowing hechos:

1) Todos los polinom $P(x)$ de grau impar tienen casi el $1$ cero real.

2) Si en $P_n(x)=\sum_{k=1}^{2n+1}a_k\cdot x^{k}$ tenemos $a_k\in\mathbb{R}$ todos los $k\in\mathbb{N}$ el número de real complejo ceros de $P_n(x)$ son incluso y el número de ceros de $P_n(x)$ son impares.

3) Prueba que para todos los $P_n$ que $|P(x)|>0$ todos los $x > 2n+1$.

4) Prueba que para todos los $P_n$ $\epsilon>0 $ que existe $a=a(\epsilon,n)>0$ sholt que

$$ |\sin(x)-P_n(x)|<\epsilon $$

para todos los $x\in[-a,+a]$ $P(x)$ el número de ceros de $\sin$$[-a,+a]$.

5) el Uso de la realidad 4) la prueba de que $c_n\leq c_{n+1}$.

6) el Uso de los hechos 2) y 3) la prueba de que $c_n<c_{n+1}$

Ahora creo que con este último hecho, usted puede encontrar una manera de demostrar este resultado. Buen Look.