Deje$A \in \Bbb M_3(\Bbb R)$ ser tal que$A^4= I, A \neq \pm I.$ Entonces, ¿es verdad que$A^2 + I=0$?

Question

Deje $\lambda$ ser un autovalor de a $A$. A continuación, $\lambda^4$ es un autovalor de a $A^4$.

Deje $v$ ser el correspondiente vector propio de a $\lambda^4$. A continuación,$A^4 v = \lambda^4 v \Rightarrow Iv=\lambda^4 v \Rightarrow \lambda^4=1 \Rightarrow \lambda= \pm 1,\pm i$.

Desde $A$ es una verdadera matriz, si $i$ (o $-i$) es el autovalor, a continuación, $-i$ ( $i$ ), también es autovalor. También se $A \neq \pm I$.

Por tanto, es posible característica polinomios de $A$$(x-1)(x+1)^2,(x+1)(x-1)^2,(x-1)(x^2+1),(x+1)(x^2+1)$.

Ahora, si es posible, $x^2+1$ será un polinomio mínimo de a $A$ para la característica polinomios $(x-1)(x^2+1),(x+1)(x^2+1)$ solamente. Pero cualquier mínimo polinomio debe tener factores de $(x-1)$ $(x+1)$ respectivamente.

Por lo tanto $A^2+ I=0$ no es posible.

Hay errores en mi prueba? Estoy aprendiendo a manejar las pruebas que contienen polinomios característicos, un mínimo de polinomios, valores propios, etc. Gracias.

Answer 1

En este caso, de hecho, es imposible que$A^2=-I$ porque$\det(A^2) \geq 0$ pero$\det(-I_{3 \times 3})=-1$.

Answer 2

Su razonamiento es correcto. Sólo quiero señalar una posible generalización a su problema, utilizando la parte esencial de su razonamiento. Si $p$ es un polinomio sin raíces reales, y $A$ es una verdadera matriz de dimensión impar, entonces $p(A) = 0$ nunca tiene.

\begin{bmatrix} C^T & \delta I \end\begin{bmatrix} M & C \\ C^T & 0 \end---Parar aquí\begin{bmatrix} \bar{q} \\ \lambda \end\begin{bmatrix} M(q_0 - \bar{q}_0) \\ 0 \end---

si quieres descubrirlo por ti mismo con la prueba que se presentó

El polinomio característico de a $A$ tiene grado impar, por lo que tiene una raíz real $\lambda$ y un respectivo eighenvector $v$. A continuación,$0 = p(A) v = p(\lambda ) v \Rightarrow p(\lambda ) = 0$, lo cual es imposible.

Answer 3

Tu razonamiento es correcto

Si necesita un contraejemplo, aquí es lo más simple posible. Establezca $$A = \ left (\begin{array}{rrr}0&1&0 \\ -1&0&0\\ 0&0&1\end {array} \ right).$$ Entonces$A^4=I$, pero $$A ^ 2 + I = \ left (\begin{array}{rrr}0&0&0 \\ 0&0&0\\ 0&0&2\end {array} \ right).$$