Subgrupos de $(\mathbb R, +)$ son densos o cíclicos.

Question

Estaba tratando de demostrar que cualquier subgrupo de $(\mathbb R, +)$ es denso en $\mathbb R$ o es un subgrupo cíclico de $(\mathbb R, +)$ .

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $H$ sea un subgrupo aditivo de $\mathbb R$ .

Tenemos $H\cap \mathbb R^+\ne \emptyset$ .

Definamos

$$\eta:=\inf \{h\in H\cap \mathbb R^+\}.$$

Podemos distinguir dos casos:

• Si $\eta>0$ .

  Dejemos que $h\in H$ y $k\in\mathbb Z$ tal que

  $$k\eta\leq \vert h\vert< (k+1)\eta.$$

  Tenemos $\vert h\vert-k \eta\in H$ y $0\leq \vert h\vert-k\eta < (k+1)\eta-k\eta=\eta$ .

  Así que según la definición de $\eta$ , $\vert h\vert-k\eta=0$ Así que $h=\pm k\eta$ .

  Así que $H=[\eta]$ en particular, $H$ es monogénico.

• Si $\eta=0$ .

  Dejemos que $r\in \mathbb R$ , $\epsilon>0$ .

  Porque $\eta=0$ existe $h\in ]0,\epsilon]\cap H$ .

  Podemos considerar $r\ge 0$ el caso $r\leq 0$ pueden ser tratados de la misma manera.

  Dejemos que $k\in\mathbb N$ para que

  $$kh\le r<(k+1).$$

  Tenemos $kh\in H$ y

  \begin{align*} 0 &\le r-kh \\ &\le (k+1)h-kh \\ &=h \\ &\le \epsilon \end{align*}

  Así que $\vert{r-kh}\vert\le \epsilon$ lo que demuestra que $H$ es denso en $\mathbb R$ .

Answer 2

Supongamos que $G<\Bbb R$ no es denso, digamos que ningún elemento de $G$ está en el intervalo abierto no vacío $(a,a+\epsilon)$ con $\epsilon>0$ . Entonces demuestre que para cada $g\in G$ tenemos $G\cap (g-\epsilon,g+\epsilon) =\{g\}$ . Entonces demuestre que $G\cap(0,\infty)$ está vacío (en cuyo caso $G=\{0\}$ es cíclico) o tiene un elemento mínimo $a$ (en cuyo caso $G=\langle a\rangle$ )