$\text{SO}(n)$ -polinomio invariable, existe $\phi \in \mathbb{C}[t]$ con igualdad de polinomios?

Question

Dejemos que $G$ sea un subgrupo de $\text{GL}(n, \mathbb{C})$ . Un polinomio $f \in \mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]$ es $G$ -si para cualquier $g \in G$ tenemos $f(g^{-1}x) = f(x)$ , $\forall x \in \mathbb{C}^n$ , de forma equivalente, $g(f) = f$ .

El grupo $\text{SO}(n, \mathbb{R})$ es un subgrupo de $\text{GL}(n, \mathbb{C})$ . Para cualquier $\text{SO}(n, \mathbb{R})$ -polinomio invariable $f \in \mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]$ ¿existe un $\phi \in \mathbb{C}[t]$ donde tenemos $$f(x_1, \ldots, x_n) = \phi\left(\sum_{i = 1}^n x_i^2\right)?$$

Answer 1

Sí. $SO(n, \mathbb{R})$ es transitiva en las cáscaras, por lo que dado cualquier punto $(x_1, x_2, \ldots x_n)\in\mathbb{R}^n$ Hay un elemento de $SO(n, \mathbb{R})$ que lo lleva a $(u, 0, 0, \ldots 0)$ . Ahora podemos elegir este $u$ para ser $\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}$ . Así, $f$ es sólo una función en este $u$ . Pero es un polinomio, así que es un polinomio del cuadrado de esto, $x_1^2+\ldots+x_n^2$ .

Así que $f$ es un polinomio que es una función de $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2$ siempre que cada uno de $x_1, x_2, \ldots x_n$ es real. ¿Puede ser otro polinomio? No, porque cualquier polinomio que sea $0$ en $\mathbb{R}^n$ es $0$ en todas partes: para cualquier variable utilizada de forma no trivial, mira sus coeficientes, determina un punto inductivamente en $\mathbb{R}^{n-1}$ donde sean distintos de cero, y elegir un número real para el que el polinomio resultante sea distinto de cero. Así que no puede ser $0$ en todos los $\mathbb{R}^n$ . Así que $f(x_1, x_2, \ldots x_n)=\phi(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2)$ según sea necesario.