Homomorfismo inyectivo $H:C_b(X) \to C_b(Y)$ implica la existencia de un mapa continuo y suryente $F:Y \to X$

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sea $2$ espacios topológicos y dejemos que $C_b(X)$ y $C_b(Y)$ denotan el conjunto de todas las funciones continuas y acotadas sobre X e Y, respectivamente, al espacio de los números complejos. Es un hecho bien conocido que $C_b(X)$ y $C_y(Y)$ son $C^*$ álgebras (bajo las operaciones habituales: suma puntual, multiplicación puntual, multiplicación escalar puntual, norma sup, y la operación estrella que es la conjugación)

El siguiente teorema es bastante fácil de demostrar:

Teorema: Si existe un mapa continuo y suryente $F:Y \to X$ , entonces existe un $*$ -Homorphim $H:C_b(X) \to C_b(Y)$ .

Se puede definir simplemente $H(f)=f \circ F$ y demostrar que este $H$ tiene las propiedades deseadas.

Me interesa lo contrario, es decir:

Pregunta: Si existe un inyectivo $*$ -Homorphim $H:C_b(X) \to C_b(Y),$ ¿existe un mapa continuo y suryente $F:Y \to X?$ ¿Cómo se debe definir $F?$

Recordemos que un $*$ -es un homomorfismo de álgebra que también preserva la norma y la operación estrella.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

PS . Si no está familiarizado con $C^*$ álgebras, entonces no se tiene en cuenta esa parte de la pregunta y se considera este problema como una pregunta sobre álgebras.

Answer 1

No, no sin hipótesis adicionales sobre los espacios $X$ y $Y$ . Por ejemplo $Y$ sea un único punto y que $X$ sea un espacio indiscreto (o cualquier otro espacio sin funciones de valor complejo no constantes) con más de un punto. Entonces $C_b(X)\cong C_b(Y)\cong\mathbb{C}$ pero no existe ninguna suryección $Y\to X$ .

Es cierto si se asume $X$ y $Y$ son compactas Hausdorff. En ese caso, por la dualidad de Gelfand, $X$ es canónicamente homeomorfo al espacio de $*$ -homorfismos $C_b(X)\to\mathbb{C}$ (con la topología de convergencia puntual), identificando $x\in X$ con el $*$ -dado por la evaluación en $x$ y lo mismo para $Y$ . Cualquier $*$ -homorfismo $H:C_b(X)\to C_b(Y)$ induce un mapa continuo $F:Y\to X$ por composición: tome un punto de $Y$ Considérelo un $*$ -a $\mathbb{C}$ compóngalo con $H$ para obtener un $*$ -homorfismo $C_b(X)\to\mathbb{C}$ y, a continuación, identificar este $*$ -con un elemento de $X$ . Obsérvese que, a la inversa, $H$ también puede recuperarse a partir de $F$ por composición: $H$ es el mapa $C_b(X)\to C_b(Y)$ que toma una función sobre $X$ y lo compone con $F$ para obtener una función en $Y$ . (Todo esto forma parte de la dualidad de Gelfand, que dice que el functor $C_b$ da una equivalencia de categorías entre la categoría de espacios compactos de Hausdorff y la categoría opuesta de C*-álgebras unitales conmutativas).

En particular, si $H$ es inyectiva, lo que significa que una función continua sobre $X$ se determina unívocamente por su composición con $F$ . Esto implica que $F$ es suryectiva (de lo contrario, por el lema de Urysohn, existiría una función continua distinta de cero en $X$ que desaparece en el subconjunto cerrado propio $F(Y)$ ).

Si $X$ es un espacio arbitrario, entonces $C_b(X)$ es naturalmente isomorfo a $C_b(\beta X)$ donde $\beta X$ es la compactificación Stone-Cech de $X$ . Así que si $X$ y $Y$ son espacios topológicos arbitrarios, todo lo que podemos obtener de un inyectivo $*$ -homorfismo $C_b(X)\to C_b(Y)$ es una suryección continua $\beta Y\to \beta X$ .