Único valor descomposición de vectores propios

Question

Intentando resolver el SVD de la matriz: $$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Sé que una de las posibles (a mi entender es la enfermedad vesicular porcina no es necesariamente un resultado único) el resultado es: $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Lo que he comprobado. Estoy tratando de resolver este problema a mí mismo, y estoy consiguiendo un resultado diferente; en particular, uno que no satisface $A=U\Sigma V^T$. Por lo tanto, estoy tratando de entender el agujero en mi enfoque.

En la actualidad, el resultado se parece a esto: $$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$$

Este es mi enfoque, dada una matriz de $M$

1. Construcción $MM^T$ $M^TM$ $$MM^T = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad\&\quad M^TM = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \\ \end{bmatrix}$$

2. Resolver los autovalores y autovectores de ambos $MM^T$ $M^TM$

Esto se logra a través de la Factorización QR. Los vectores propios se enumeran en orden de mayor magnitud autovalor menor magnitud autovalor. Los resultados son como sigue:

$$MM^T \enspace autovalores = \begin{bmatrix} 9 & 4 & 0 \end{bmatrix}$$ $$MM^T \enspace autovectores = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ $$M^TM \enspace autovalores = \begin{bmatrix} 9 & 4 \end{bmatrix}$$ $$M^TM \enspace autovectores = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

3. Construcción $U$ utilizando el autovalor-ordenó vectores propios de a $MM^T$ como las columnas de la matriz. Construcción $V$ en el mismo camino, pero con $M^TM$.

También me gustaría aplicar de Gram-Schmidt orthonormalization aquí, pero estas matrices son ya ortonormales.

$$U = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ $$V = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

4. Finalmente, la construcción de la $\Sigma$ por la realización de una matriz diagonal cuyos valores son las raíces cuadradas de los no-cero autovalores de a $MM^T$ o $M^TM$.

Presumiblemente, debería preservar el autovalor de la orden cuando hago esto?

$$\Sigma = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Así que mi pregunta es, si alguien me puede ayudar a identificar el error que he hecho, o el agujero en mi aproximación a este problema. Suponiendo que no he hecho un simple error, creo que me falta algún tipo de conocimiento en cuanto a la construcción de estas matrices (porque se puede ver, por ejemplo, que la conocida solución tiene valores muy parecidos en diferentes órdenes y señales).

Answer 1

En primer lugar, un poco mal el orden de los vectores propios. Para $MM^T$ es $u_1 =(0,1,0)$, $u_2 = c(1,0,0)$ y $u_3 = c(0,0,1)$ corresponden a $9$, $4$ y $0$. Para $M^T M$ el resultado es inmediato con $v_1 = c(0,1)$ $v_2 = (-1,0)$ corresponden a $9$$4$.

En segundo lugar, algunos más comentarios: parece que la sobre-muertos con los cálculos. Tenga en cuenta que $MM^T$ es una matriz diagonal, de ahí que sus autovalores son las entradas de la diagonal con ortogonal (normalizado) vectores propios. La no-cero autovalores de a $M^TM$ son los mismos, mientras que los vectores propios (debido a la simetría) son también de la misma hasta a un signo. Es decir, una vez que usted ve $MM^T$ todo lo demás se sigue de inmediato sin Gram-Schimdt, QR y así sucesivamente. En cuanto a la elección de los signos - es un poco más sutil, como los vectores singulares se determina únicamente hasta sólo un signo. Como tal, usted tiene que tener cuidado con el signo de elección en el fin de "reconstruir" el original de $M$. Por favor, consulte aquí Cálculo de la SVD a mano: resolución de la señal de ambigüedades en el rango de los vectores. la última respuesta acerca de la elección de un signo.