Intentando resolver el SVD de la matriz: \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
Sé que una de las posibles (a mi entender es la enfermedad vesicular porcina no es necesariamente un resultado único) el resultado es: $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$
Lo que he comprobado. Estoy tratando de resolver este problema a mí mismo, y estoy consiguiendo un resultado diferente; en particular, uno que no satisface $A=U\Sigma V^T$. Por lo tanto, estoy tratando de entender el agujero en mi enfoque.
En la actualidad, el resultado se parece a esto: $$ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} $$
Este es mi enfoque, dada una matriz de $M$
1. Construcción $MM^T$ $M^TM$ $$ MM^T = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad\&\quad M^TM = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \\ \end{bmatrix} $$
2. Resolver los autovalores y autovectores de ambos $MM^T$ $M^TM$
Esto se logra a través de la Factorización QR. Los vectores propios se enumeran en orden de mayor magnitud autovalor menor magnitud autovalor. Los resultados son como sigue:
$$ MM^T \enspace autovalores = \begin{bmatrix} 9 & 4 & 0 \end{bmatrix} $$ $$ MM^T \enspace autovectores = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ $$ M^TM \enspace autovalores = \begin{bmatrix} 9 & 4 \end{bmatrix} $$ $$ M^TM \enspace autovectores = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $$
3. Construcción $U$ utilizando el autovalor-ordenó vectores propios de a $MM^T$ como las columnas de la matriz. Construcción $V$ en el mismo camino, pero con $M^TM$.
También me gustaría aplicar de Gram-Schmidt orthonormalization aquí, pero estas matrices son ya ortonormales.
$$ U = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$ $$ V = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$
4. Finalmente, la construcción de la $\Sigma$ por la realización de una matriz diagonal cuyos valores son las raíces cuadradas de los no-cero autovalores de a $MM^T$ o $M^TM$.
Presumiblemente, debería preservar el autovalor de la orden cuando hago esto?
$$ \Sigma = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$
Así que mi pregunta es, si alguien me puede ayudar a identificar el error que he hecho, o el agujero en mi aproximación a este problema. Suponiendo que no he hecho un simple error, creo que me falta algún tipo de conocimiento en cuanto a la construcción de estas matrices (porque se puede ver, por ejemplo, que la conocida solución tiene valores muy parecidos en diferentes órdenes y señales).
