He tomado un curso de matemáticas discretas este verano y allí hablamos de potencia de grupos y funciones,y ayer pensé y me di cuenta que si podemos mapear todas las coordenadas 3D con una función uno a uno y suryectiva de $(x,y,z)$ a $(a)$ podemos demostrar que nuestro planeta es 1D, eso es alucinante. ¿Esa prueba es correcta?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Creo que te refieres a las curvas que rellenan el espacio y a cómo pueden asignar un segmento de línea a más de una dimensión. Por ejemplo, la curva de llenado del espacio de Hilbert puede utilizarse para asignar el intervalo $[0,1]$ a $[0,1]\times[0,1]$ .
Me temo que mientras que una biyección continua es posible en un sentido, no es posible tener un homeomorfismo entre dos espacios euclidianos de dimensiones diferentes. Un homeomorfismo es una cartografía que es continua, biyectiva y tiene su inversa continua. No se puede construir un homeomorfismo. Por tanto, ¡la Tierra no puede ser 1D!
Ver: Propiedades topológicas del espacio de coordenadas reales
kymully
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153
La respuesta de Varun básicamente lo dice todo, pero quizás sea útil explicar también por qué queremos un homeomorfismo en lugar de una simple biyección.
La idea de modelizar el "espacio físico real" mediante un modelo euclidiano $\mathbb{R}^3$ es para poder hacer predicciones sobre procesos físicos, como la propagación de una onda electromagnética. Para ello solemos utilizar ecuaciones diferenciales o integrales de trayectoria. Estos modelos son local es decir, por muy grande que sea el proceso que describimos, en última instancia puede dividirse en procesos fundamentales que tienen lugar en segmentos arbitrariamente pequeños del espacio. Esto es así con respecto a la norma euclidiana: para cada punto y cada "precisión deseada", existe una vecindad abierta, un espacio vectorial diminuto en sí mismo, en el que tenemos algunas ecuaciones sencillas que describen la física.
Es esta norma la que induce también la topología de $\mathbb{R}^3$ - un espacio topológico es básicamente un conjunto junto con la noción de qué subconjuntos son vecinos locales.
Si mapeamos el espacio físico a algún otro espacio utilizando un homeomorfismo, entonces las vecindades abiertas se "preservan" (mapeadas a vecindades abiertas de nuevo). Además, no obtenemos nuevas vecindades. Por tanto, un modelo físico local en el nuevo espacio homeomórfico es equivalente a un modelo físico local en el espacio original.
Las cosas se ven de forma muy diferente si se mapea a un espacio de diferente dimensionalidad utilizando algo como una curva de relleno del espacio de Hilbert. Esos mapeos son fuertemente no-homeomórficos, es decir, vecindades abiertas en $\mathbb{R}^3$ generalmente se asignará a una colección de infinitos trozos desconectados. Cualquier modelo que fuera simple en $\mathbb{R}^3$ se traduce en un lío horrible en $\mathbb{R}$ e incluso si se encuentra una descripción algebraica utilizable, dependerá en gran medida de qué curva de llenado de espacio se haya utilizado exactamente. Cualquier modelo de este tipo será no local, es decir, será completamente diferente de las formas en que estamos acostumbrados a describir la física. Para hacer cálculos útiles, probablemente tendrás que volver a $\mathbb{R}^3$ primero, utilice el modelo simple allí, y transforme a $\mathbb{R}$ otra vez. Esto no tiene sentido.
nardi
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58
Las respuestas hasta ahora dan una buena respuesta a la pregunta, pero sólo añadir un punto general:
Cuando un sistema se describe axiomáticamente, se da un conjunto de estados posibles, más un conjunto de reglas válidas para transformar esos estados en otros. Por tanto, que el conjunto de estados válidos de dos sistemas sea equivalente no significa que los sistemas sean equivalentes, ya que no dice nada sobre la equivalencia de las segundas partes de las descripciones.
ElcoJacobs
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121
Es imposible. Supongamos que la línea real, $\mathbb{R}$ es su espacio 1D y que $\alpha:\mathbb{R}\to \mathrm{Earth}$ es un homeomorfismo (la física es más que sólo la topología, pero al menos la topolología de ambos lados debe coincidir). A continuación, elimine un punto en cada espacio, digamos $\mathbb{R}_\times$ y $\mathrm{Earth}_\times$ . La restricción, $\alpha_\times$ induce iso entre
$$\mathbb Z^2=\pi_0(\mathbb R_\times) \simeq \pi_0(\mathrm{Earth}_\times)=\mathbb Z,$$
lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no existe tal mapa.
Gil Milow
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160
Dado que su pregunta se basó en las matemáticas discretas, y " nuestro planeta " bien puede considerarse un conjunto de elementos discretos (como los átomos) ...
... puede ser útil considerar una noción de "dimensión D" que permita distinguir espacios discretos de diferentes valores D; por ejemplo:
si el conjunto $\mathcal{S}$ de elementos discretos adecuados es una espacio métrico $(\mathcal{S}, d)$ con valores de distancia dados (" $d$ ") entre pares de elementos (o al menos entre tres elementos distintos), entonces
-
Todos los elementos de $\mathcal{S}$ son rectos entre sí; o al menos: cuanto más cerca estén tres elementos cualesquiera, más rectos serán también entre sí (por comparación).
(Explícitamente, por ejemplo:
para cualquier elemento $A \in \mathcal{S}$ hay dos elementos $B, C \in \mathcal{S}$ tal que el radio de la circunferencia del triángulo $ABC$ es mayor que la circunferencia del triángulo $ABC$ , $\frac{AB \cdot AC \cdot BC}{\sqrt{2 AB^2 \cdot AC^2 + 2 AB^2 \cdot BC^2 + 2 AC^2 \cdot BC^2 - AB^4 - AC^4 - BC^4}} \gt AB + AC + BC$ ;
y para cualesquiera otros dos elementos $X, Y \in \mathcal{S}$ para la cual la circunferencia del triángulo $AXY$ es menor que la circunferencia del triángulo $ABC$ el radio de la circunferencia del triángulo $AXY$ es aún mayor en comparación,
$\frac{AX \cdot AY \cdot XY}{\sqrt{2 AX^2 \cdot AY^2 + 2 AX^2 \cdot XY^2 + 2 AY^2 \cdot XY^2 - AX^4 - AY^4 - XY^4}} / (AX + AY + XY) \gt $
$\frac{AB \cdot AC \cdot BC}{\sqrt{2 AB^2 \cdot AC^2 + 2 AB^2 \cdot BC^2 + 2 AC^2 \cdot BC^2 - AB^4 - AC^4 - BC^4}} / (AB + AC + BC)$
.)
Entonces el espacio métrico $(\mathcal{S}, d)$ es unidimensional. O si no: -
Todos los elementos del conjunto $\mathcal{S}$ son planos entre sí; o al menos: cuanto más cerca estén cuatro elementos cualesquiera, más planos serán también entre sí (por comparación).
(Esto puede hacerse explícito mediante comparaciones que incluyan los radios de las circunferencias de cuatro elementos cualesquiera del conjunto $\mathcal{S}$ .) Entonces el espacio métrico $(\mathcal{S}, d)$ es bidimensional. O si no: -
Todos los elementos del conjunto $\mathcal{S}$ son planos entre sí; o al menos: cuanto más cerca están unos cinco elementos de otros, más planos son también entre sí (por comparación).
(Esto puede hacerse explícito mediante comparaciones que incluyan los radios de circunferencia). 3-esferas de cinco elementos cualesquiera del conjunto $\mathcal{S}$ .) Entonces el espacio métrico $(\mathcal{S}, d)$ es tridimensional. Y así sucesivamente.
Según estos criterios (o criterios estrechamente relacionados), los elementos que componen " nuestro planeta "constituyen presumiblemente un conjunto tridimensional.
[...] coordenadas con una función uno a uno y suryectiva de $(x,y,z)$ a $(a)$
Nótese que en la definición de "dimensión D de espacios discretos" sugerida anteriormente no se mencionaba ninguna coordenada. No importa si se asignan números reales a los elementos de un conjunto determinado, ni cuáles ni cuántos sean $\mathcal{S}$ todo lo que se necesita son las distancias (o al menos: relaciones de distancia) entre los elementos.
Sin embargo, una vez establecida la "dimensión D" de un conjunto, se pueden distinguir diferentes asignaciones de coordenadas.
Por ejemplo: si se establece $\mathcal{S}$ es unidimensional (y con dos "extremos" separados) y si se asignan números reales a los elementos del conjunto $\mathcal{S}$ (un número real distinto a cada elemento distinto) entonces se puede distinguir si la asignación es monótono con respecto al orden de los elementos en $\mathcal{S}$ o no.
Esta forma de establecer distinciones puede generalizarse a conjuntos de mayor "dimensión D" si a cada elemento se le asignan D-tuplas reales (es decir, conjuntos de D números reales).
