Aclaración sobre el uso del producto escalar en la fórmula para la distancia de un avión al origen

Question

Me decidí a tomar en el MIT Multivariable de Cálculo para obtener una revisión para el próximo semestre. Tener algunas luchas con esta pregunta, y aunque las soluciones no son realmente me ayuda mucho, pensando que podría estar viendo esto en un naíve manera y estoy perdiendo un paso sobre cómo llegaron allí.

Supongamos que un avión $ax+by+cz = d$

Se supone que vamos a probar la fórmula $D = \frac{\mid d \mid}{\sqrt{a²+b²+c²}}$ donde D es la distancia al origen.

Yo estaba teniendo algunos problemas con la prueba, comprobar la solución y poco a poco comenzó a tener una idea, pero hay que ver si estoy recibiendo este derecho.

Así que supongamos que un $P_0 = (x_0,y_0,z_0)$, y sé que el vector normal es $\vec{N} = (a,b,c)$.

La solución comienza de esta $\vec{OP}.\frac{\vec{N}}{|\vec{N}|}$ y, a continuación, por las operaciones habituales que llegó a la fórmula que queríamos.

Así que mi pregunta es, se supone que voy a ver el producto escalar como la proyección del vector que une el origen a un punto determinado en la dirección del vector Normal? Estoy consiguiendo que el valor que va a ser la distancia mínima?

La intuición es ver el producto escalar como una especie de analizador que busca los puntos en común entre 2 vectores y devuelve el vector que está compuesto por los elementos comunes?

También, finalmente, entiendo que la división de la longitud del vector Normal nos da el "unitario" vector de dirección a la derecha? Pero yo no estoy viendo la implicación de no hacerlo, ¿cómo podría deformar la resultante de la distancia? Habría que hacer más grande o más pequeño dependiendo de la longitud del vector normal que elegimos?

Si estas preguntas son básicas, lo siento, nunca he tenido mucho amor para esta clase y se espera que mejore en estas próximas semanas, ya veo a este curso.

Answer 1

Creo que tienes bastante razón. El producto escalar puede ser entendida como una medida de la alineación entre dos vectores. Por ejemplo, si $\vec{u}$ $\vec{v}$ son dos vectores unitarios, entonces $$\vec{u}\cdot\vec{v} = \cos\theta$$ donde $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores. Así que en este caso $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1$ significa que los vectores apuntan en la misma dirección (es decir,$\vec{u}=\vec{v}$), $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ significa que los vectores son perpendiculares, y $\vec{u}\cdot\vec{v} = -1$ significa que los vectores apuntan en direcciones opuestas (es decir,$\vec{u}=-\vec{v}$.)

En el caso más general en el que los vectores no son vectores unitarios, tenemos $$\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$$ lo que significa que $\vec{u}\cdot\vec{v}$ adquiere su mayor valor posible, $|\vec{u}| |\vec{v}|$, cuando los vectores apuntan en la misma dirección.

En el caso de que uno de los vectores (es decir $\vec{v}$) es un vector unitario, $\vec{u} \cdot \vec{v}$ mide el componente de $\vec{u}$ $\vec{v}$ dirección. Si introducimos la notación $\hat{v}$ a de pie para$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$, $\hat{v}$ es un vector unitario en la $\vec{v}$ dirección, y tenemos que la componente de $\vec{u}$ $\vec{v}$ dirección es

$$\operatorname{comp}_{\vec{v}}\vec{u} = \vec{u} \cdot \hat{v} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}$$

Es importante darse cuenta de que $\operatorname{comp}_\vec{v} \vec{u}$ es un escalar cantidad, midiendo el "tamaño" de la componente de $\vec{u}$ en la dirección de $\vec{v}$. (Puse "tamaño" entre comillas porque este escalares también incluye un signo, así que no es sólo una magnitud.) También es útil para definir un vector $\operatorname{proj}_\vec{v} \vec{u}$ como sigue:

$$\operatorname{proj}_\vec{v} \vec{u} = \left( \operatorname{comp}_\vec{v} \vec{u} \right) \hat{v}$$

Observe que $\operatorname{proj}_\vec{v} \vec{u}$ puntos en (u opuesto) a la $\vec{u}$ dicción y tiene una longitud igual a $|\operatorname{comp}_\vec{v} \vec{u}|$. Desembalaje de esta definición, tenemos las siguientes formas equivalentes:

$$\operatorname{proj}_\vec{v} \vec{u} = \left( \vec{u} \cdot \hat{v}\right) \hat{v}$$ $$\operatorname{proj}_\vec{v} \vec{u} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}\right) \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$$ $$\operatorname{proj}_\vec{v} \vec{u} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}\right) \vec{v}$$

Answer 2

Han explicado la mayor parte del problema muy claramente.

Tenga en cuenta $$ OP.N = |OP||N|\cos \theta$$ where $\theta $ is the angle between $ OP $ and $N$.

Para encontrar la distancia más corta sólo tiene $|OP| \cos \theta $.

Por lo tanto necesita dividir $OP.N$ por | N | para obtener la distancia más corta.

Answer 3

Una explicación alternativa utiliza el hecho de que$\langle a,b,c\rangle$ es un vector normal para el plano y, por lo tanto, es normal para el vector que conecta dos puntos, como$(at,bt,ct)$ y$(x,y,z)$ que yacen en el plano donde$P=(at,bt,ct)$ es el punto del avión más cercano al origen

Por lo tanto, \begin{eqnarray} \langle x-at,y-bt,z-ct\rangle\cdot\langle a,b,c\rangle&=&0\\ ax+by+cz&=&(a^2+b^2+c^2)t\\ d&=&(a^2+b^2+c^2)t\\ t&=&\frac{d}{a^2+b^2+c^2}\\ P&=&\frac{(a,b,c)d}{a^2+b^2+c^2}\\ |P|&=&\frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray}

Answer 4

Así que mi pregunta es, se supone que voy a ver el producto escalar como la proyección del vector que une el origen a un punto determinado en la dirección del vector Normal?

Usted puede pensar que el producto escalar como el producto de las longitudes de escala por lo que están apuntando en la misma dirección. Se utiliza en el cálculo de la proyección, pero no es la proyección de sí mismo.

Me estoy poniendo en el que la componente y de la que será la distancia mínima?

Usted necesita para corregir la errata aquí para mí, para estar seguro de lo que estás diciendo.

La intuición es ver el producto escalar como una especie de analizador que busca los puntos en común entre 2 vectores y devuelve el vector que está compuesto por los elementos comunes?

Devuelve un escalar, no un vector.

También, finalmente, entiendo que la división de la longitud del vector Normal nos da el "unitario" vector de dirección a la derecha?

En cierto sentido, no es "el" vector normal. Dado cualquier vector de n, si n es normal, entonces es cn. Si la escala n, entonces hay sólo dos posibles resultados que difieren por un factor de -1 y corresponden a diferentes orientaciones en el plano (que es, lo que consideran el "top" del avión).

Pero yo no estoy viendo la implicación de no hacerlo, ¿cómo podría deformar la resultante de la distancia?

Esto significa que el tamaño del punto del producto dependerá de cuáles sean los vectores normales que usted elija.

Sería de gran ayuda para ver lo que el argumento de su libro da es, sino una forma de verlo es que si usted tiene puntos de $P_0$ $P_1$ en el plano, a continuación, $P_1-P_0$ es también en el plano. Vectores normales son, por definición, perpendicular a cada vector en el plano, y por lo tanto su producto escalar es cero. Por lo $n \cdot (P_1-P_0) = 0$. Ya que el producto escalar es bilineal, podemos arreglar esto para ser $n \cdot P_1 = n\cdot P_0$. Esto demuestra que cuando nos tomamos el producto escalar de un vector normal con un punto en el plano, el resultado no depende de el punto de recogida. Por lo tanto, si queremos tomar el punto en el plano más cercano al origen, y obtener su producto escalar de un vector normal, vamos a obtener la misma respuesta si tomamos un punto arbitrario y tomar su producto escalar con el vector normal.

Una de las propiedades del producto escalar es que el producto escalar de dos vectores paralelos es sólo el producto de su longitud, por lo que si podemos demostrar que el vector que apunta desde el origen hasta el punto más cercano en el plano es perpendicular al plano, entonces se sigue que el vector es paralelo al vector normal, y por lo tanto podemos tomar el producto escalar de cualquier punto en el plano con vector normal y obtener la distancia al plano veces la longitud del vector normal. Desde sólo queremos que la distancia al plano, se divide por la longitud del vector normal, y esa es nuestra respuesta.

Por CIERTO, usted debe utilizar \cdot para representar el producto escalar.