Dos pruebas alternativas que$x \neq 0 \wedge xy = xz \implies y = z$.

Question

Creo que he sido capaz de construir de dos formas, usando el campo axiomas, que si $x \neq 0$$xy = xz$,$y = z$. Sin embargo, he visto las pruebas semejantes como esto supone que podemos realizar operaciones aritméticas, tales como multiplicar ambos lados por el inverso, que refleja, en cierto sentido, algunas pruebas que he escrito en abstracto-álgebra de contexto -, mientras que otros son más "purista" en este sentido. La otra prueba similar en Rudin, por ejemplo, no asume que podemos utilizar aritmética simple.

Mi pregunta, entonces, es cuál de estos es 'más' estándar en el primer año de un curso de análisis?

Prueba 1: Suponiendo que puedo usar la aritmética .

Desde $x \neq 0$, $\exists x^{-1}$ s.t. $xx^{-1} = x^{-1} x = 1$ por el campo axiomas. Por lo tanto, \begin{align*} xy = xz & & \text{By assumption} \\ x^{-1} (xy) = x^{-1} (xz) & & \text{Multiply on left by %#%#%} \\ \left(x^{-1} x\right)y = \left(x^{-1} x\right)z & & \text{Associativity} \\ 1y = 1z & & \text{Inverse properties} \\ y = z \end{align*}

Ejemplo 2: Sin asumir la aritmética, y la creación de reflejo de Rudin.

\begin{align*} y & = 1 \cdot y & & \text{Multiplicative identity} \\ & = \left(x \cdot \frac{1}{x}\right) y & & \text{Mult inverse axiom with %#%#%} \\ & = \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)y & & \text{Commutativity of multiplication} \\ & = \frac{1}{x} \left(x \cdot y\right) & & \text{Associativity of multiplication} \\ & = \frac{1}{x} \left(xz\right) & & \text{Assumption that %#%#%} \\ & = \left(\frac{1}{x} \cdot x\right) z & & \text{Associativity of multiplication} \\ & = 1z & & \text{Inverse properties} \\ & = z \end{align*} Gracias de antemano.

Answer 1

Las dos pruebas son esencialmente los mismos y la primera no uso aritmética, pero más bien axiomas de campo. Yo no uso $\frac{1}{x}$, pero que es más estética que importante.

Más substancial es que no necesita apelar a commutativity:\begin{align} y &=1y &&\text{(multiplicative identity)} \ &=(x^{-1}x)y &&\text{(%#%#% has an inverse)} \ &=x^{-1}(xy) &&\text{(associativity)} \ &=x^{-1}(xz) &&\text{(hypothesis)} \ &=(x^{-1}x)z &&\text{(associativity)}\ &=1z &&\text{(property of the inverse)} \ &=z &&\text{(multiplicative identity)} \end {Alinee el}

Por otra parte, la otra prueba parece más corto\begin{align} & xy=xz &&\text{(hypothesis)} \ & x^{-1}(xy)=x^{-1}(xz) && \text{(%#%#% has an inverse)} \ & (x^{-1}x)y=(x^{-1}x)z && \text{(associativity)} \ & 1y=1z && \text{(property of the inverse)} \ & y=z && \text{(multiplicative identity)} \end {Alinee el} y menos "conejo de un sombrero de Copa".