Problema de desigualdad de MVT

Question

Acabo de realizar un examen de análisis real y esta fue una pregunta que no pude responder ...

Demuestre que$\left|e^\frac{-x^2}{2t}-e^\frac{-y^2}{2t}\right| \leq \frac{|x-y|}{t}$ para$x,y \in [-1,1] ,t>0$

Terminé intentando establecer$f(x,y)=e^\frac{-x^2}{2t}-e^\frac{-y^2}{2t}$, luego intenté con$f(-1,-1) =f(1,1)$ pero nunca terminé llegando a ninguna parte.

¿Algún consejo sobre cómo se resuelve esto realmente? Nunca antes había visto un problema de desigualdad como este.

Answer 1

Puede escribir cuando$|x| \leqslant |y|$ y usar la desigualdad de triángulo para integrales:

$$\begin{align*} \left| e^{-x^2/2t} - e^{-y^2/2t} \right| = \left| \int_{x}^{y}- \frac{u}{t} e^{-u^2/2t} du\right| &\leqslant \int_{|x|}^{|y|} \frac{|u|}{t} du \\ &\leqslant \int_{|x|}^{|y|} \frac{u}{t} du \\ &= \frac{1}{2t}(y^2 - x^2)\\ &= \frac{1}{2t}(|y| - |x|) (|x|+|y|) \\ & \leqslant \frac{|y-x|}{t} \end{align*}$$

Puedes concluir con un argumento de simetría.

Answer 2

Observe que, según el teorema del valor medio, $$| e ^ a - e ^ b | \ leq | ab |, \ qquad \ forall a, b \ leq 0.$$ Por lo tanto, si$x,y\in [-1,1]$, $$\ left | e ^ {- x ^ 2 / 2t} - e ^ {- y ^ 2 / 2t} \ right | \ leq \ left | {x ^ 2 / 2t} - {y ^ 2 / 2t} \ right | \ leq | x + y | \, \ frac {| xy |} {2t} \ leq \ frac {| xy |} {t} \ ,.$$

Answer 3

Insinuación. considerar$F(z)= \exp(-z^2/2t)\;[|z|\leqslant 1]$,$t$ es fijo. Entonces MVT.