Forma alternativa de calcular el número de intersección en una superficie

Question

Sea $X$ una superficie algebraica sobre un campo $k$ y sean $D,E$ dos divisorios primos suaves en $X$. Supongamos que $e_x, f_x \in \mathcal O_{X,x}$ son las ecuaciones locales en $x$ de $D$ y $E$ respectivamente. Sea $v_{D,x}$ la valoración en $x\in D$ (con respecto a la curva $D$). Para cualquier $x\in D$ existe una proyección natural $\pi: \mathcal O_{X,x} \to k(D)$ (donde $k(D)$ es el cuerpo de funciones de la curva $D$ o, equivalentemente, el campo de residuos en el punto genérico de $D$).

Me gustaría entender por qué la siguiente igualdad es verdadera para cualquier $x\in D\cap E$:

$$v_{D,x}(\pi(f_x))=\operatorname{length}_{\mathcal O_{X,x}}\left(\mathcal O_{X,x}/(e_x,f_x)\right)=:i_x(D,E)$$

En otras palabras, me gustaría entender por qué es posible calcular el número de intersección local mediante la valoración unidimensional.

Answer 1

Esta es una computación local, por lo que se asume que $X = \operatorname{Spec} A$, y digamos que $x\in D\cap E$ está dado por el ideal maximal $\mathfrak{m}$. Entonces la proyección natural está dada por la proyección $\pi: A_{\mathfrak{m}} \rightarrow A_{\mathfrak{m}}/e_x A_{\mathfrak{m}}.

Claimamos que $v(\pi(f_x)) = length(A_{\mathfrak{m}}/(e_x,f_x))$. Esto se reduce a la afirmación de álgebra conmutativa de que si $(R,\mathfrak{m})$ es un anillo de valoración discreto con campo residual $k$ donde $R$ es un $k-$álgebra que contiene $k$ mapeando isomórficamente a su campo residual, y $f\in R$, entonces $\dim_k R/(f) = val(f)$. Notar que la condición me permite ver a $R/(f)$ como un espacio vectorial sobre $k.$

Para ver esto, notar que $val(f) = n \iff f = u \nu^n$ donde $\nu$ es un parámetro local para $R$, y $u\in R^{\times}$. Así que vemos que $R/(f) = R/(\nu^n)$, y por la exactitud de la siguiente secuencia exacta corta

$$0\rightarrow \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \rightarrow R/\mathfrak{m}^2 \rightarrow R/\mathfrak{m} \rightarrow 0$$

de $k-$espacios vectoriales (y por inducción), vemos que $\dim_k R/(\nu^n) = n.

Obtienes tu afirmación original al dejar que $R=\mathcal{O}_{X,x}/(e_x)$ y $f=f_x$. Para ver la igualdad entre longitud y dimensión como espacio vectorial sobre $k$, ver Módulos de Longitud Finita sobre Anillos Artinianos Locales.