Topología que contiene una región parabólica

Question

Consideramos en $\mathbb{R}^2$ de la topología de conjuntos de $U\subset \mathbb{R}^2$ que contiene para cada $(a,b)\in U$ parabólica región dada por $$\alpha(x-a)^2 <y-b, \quad \alpha >0$$ El estudio, si este espacio se verifica la primera contables axioma, la segunda countably axioma y si es separable. También, muestran que hay compacto en este espacio que no son ni cerrado ni acotada.

En primer lugar, vamos a pensar acerca de cómo el abierto de conjuntos. Para cada punto del plano, podemos tomar $\alpha>0$ y la región parabólica $$\alpha(x-a)^2 <y-b,$$ y observar que $(a,b)$ no satisface la igualdad. El cambio de $\alpha$ ampliar o reducir la parabólica de la región. A continuación, un conjunto abierto en esta topología se $$U=\{(a,b)\}\cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : \alpha(x-a)^2 <y-b\}.$$ Si fijamos $\alpha$ por cada punto de $(x,y)$ de la parabólica región (recuerde que el conjunto de $U$ tiene que contener la $\textbf{a}$ parabólico región), vamos a ser capaces de elegir a $\alpha_{(a,b)}$ (puede ser muy grande) tal que $U$ contendrá todos los de la parabólica región con vértice $(x,y)$.

Ahora, podemos trabajar en el problema.

$(a)$ El conjunto $\mathbb{Q}^2$ cruza cada conjunto abierto (no vacío), de modo que el espacio es separable.

$(b)$ De los que tomaron $\beta>\alpha_{(a,b)}$ donde $\beta\in \mathbb{N}$, tenemos que $$\beta(x-a)^2 <\alpha_{(a,b)}(x-a)^2 <y-b.$$ Por lo tanto, se puede tomar como un barrio de base para el punto de $(a,b)$ $$\mathcal{V}_{(a,b)}=\{U_{a,b}^\beta: \beta\in \mathbb{N}, \beta > \alpha \}$$ donde $$U_{a,b}^\beta=\{(a,b)\}\cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : \beta(x-a)^2 <y-b\}.$$ Esta base es contable, de modo que el espacio es de primera contables axioma.

$(c)$ Dado un conjunto abierto $U$, luego nos cruzan con la línea de $r: y=b$. La intersección es sólo el punto de $(a,b)$ y, por las propiedades de la relación de la topología en la línea de $r$, tenemos que el punto de $(a,b)$ está abierto en $(r, \mathcal{T}|_r)$. Como $\mathbb{R}^2$ no es contable, entonces no podemos encontrar una contables base de bloques abiertos, así que este espacio no es de segunda countably axioma.

$(d)$ Tenemos en cuenta el conjunto $$K=\{a\}\times [b+1,+\infty)$$ y una cubierta de $K$. Es claro que no es $\alpha>0$ tal que $$K\subset \{(a,b)\}\cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : \alpha(x-a)^2 <y-b\},$$ que es finito. A continuación, $K$ es un compacto ni cerrado ni acotada.

Answer 1

Deje $P(a,b,\alpha) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid \alpha(x-a)^2 <y-b \} \cup \{ (a,b) \} $

Las posibles interpretaciones de la definición de apertura son:

$U$ es abrir el fib $\forall (a,b) \in U, \exists \alpha > 0, P(a,b,\alpha) \subset U$

$U$ es abrir el fib $\forall (a,b) \in U, \forall \alpha > 0, P(a,b,\alpha) \subset U$

$U$ es abrir el fib $\exists \alpha > 0, \forall (a,b) \in U, P(a,b,\alpha) \subset U$

La primera es la más natural, pero los otros dos sí determinan las topologías. En realidad, se define la misma topología. Para cada punto de (a,b) deje $H(a,b) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y > b \} \cup \{(a,b) \} $. Este es un nbhd de (a,b) en la segunda topología y está contenida en cualquier otro nbhd de (a,b). Por lo tanto la topología es la primera contable, pero no de segunda contables. Es claramente separables. Cualquier no-vacío compacto subconjunto tiene que estar delimitado por debajo y tienen un número finito de puntos (pero no ninguno) en el nivel más bajo, y cualquier conjunto es compacto. Ninguno de ellos está cerrado.

Si la primera definición se utiliza, a continuación, cada una de las $P(a,b,\alpha)$ es abierta para cualquier otro punto (c,d) en el set, una lo suficientemente grande como $\beta$ da $P(c,d,\beta) \subset P(a,b,\alpha)$. La restricción $\alpha$ positivos de los naturales se da una contables nbhd base. Pero como antes de la topología es separable, pero no de segunda contables. Cualquier no-vacío compacto subconjunto está cubierto por un número finito de estos Ps y así está delimitado a continuación. $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq b \}$ es compacto pero no acotada arriba.

De ETA. Su reescritura de la cuestión parece haber llegado a la misma respuesta.

Answer 2

Se han alcanzado las respuestas correctas, pero sus explicaciones son bastante confundido. He añadido comentarios después de pasajes copiados de su post. (Me temo que las citas no se reproducen muy bien. No sé cómo dar la vuelta a eso.)

"Entonces, un conjunto abierto en esta topología se U={(a,b)}∪{(x,y)∈R2:α(x−a)^2 < y-b}"

No, un conjunto abierto U que contiene un conjunto de este formulario para cada uno de sus puntos (a,b). No tiene que ser de esta forma a sí misma, y aún no ha demostrado estos conjuntos son abiertos.

"Si arreglamos α para cada punto (x,y) de la parabólica región (recuerde que el conjunto U tiene que contener una parabólica de la región), vamos a ser capaces de elegir α(a,b) (puede ser muy grande) tales que U contendrá todos los de la parabólica región con vértice (x,y)"

Esto es casi como probar estos conjuntos son abiertos, pero invierte la lógica. Usted necesita comenzar con un particular (a,b) y $\alpha$ y, a continuación, mostrar que para cada uno de los otros (x,y) en el conjunto puede elegir un $\beta$, de modo que la parabólica región por encima (x,y) con el parámetro está contenida dentro de la original por encima de (a,b). (Para demostrar que los conjuntos se define como abierto en realidad forma una topología también tenemos que demostrar que la intersección de cualquier colección finita de ellos está abierto. Que es sencillo, pero, desde el examen de la pregunta le dice que es una topología supongo que no requieren de probar.)

...

"(b) Tomando β>α(a,b), donde β∈N, tenemos que β(x−a)2<α(a,b)(x−a)2α} donde Ußa,b={(a,b)}∪{(x,y)∈R2:β(x−a)2 "

No hay una sola $\alpha_{a,b}$. Diferentes valores de $\alpha$ será necesario para los diferentes bloques abiertos que contienen (a,b). Una vez que hemos demostrado que cada una de las $U_{a,b}^\beta$ es abierta, se sigue inmediatamente que forman una nbhd base de (a,b). De salir de la $\beta > \alpha$ en la definición de $\mathcal{V}_{(a,b)}$.

"(c) Dado un conjunto abierto U, entonces nos cruzan con la recta r:y=b. La intersección es sólo el punto (a,b) y, por las propiedades de la topología relativa de la recta r, se tiene que el punto (a,b) es abierto en (r,T|r)."

Cualquier conjunto abierto puede intersectar la recta r en lo posible cualquier subconjunto. El punto es que para cualquier (a,b) en esa línea no es un conjunto abierto ($U_{a,b}^\beta$ cualquier $\beta$) que contiene (a,b), pero ningún otro punto de la línea.

"(d) Tenemos en cuenta el conjunto K={a}×[b,+1,+∞) y una cubierta de K. Es claro que no es α>0 tal que K⊂{(a,b)}∪{(x,y)∈R2:α(x−a) , que es finito."

Esto no tiene mucho sentido. $\{ (a,b) \} \cup \{(x.y) \in \mathbb{R}^2 \mid \alpha(x-a)^2 < y-b \}$ no es finito. La colección que contiene sólo que el conjunto es finito y no cubre K pero no es un subcovering de la cubierta. Sólo tenga en cuenta que la cobertura debe incluir un conjunto abierto que contiene a,b+1), y que - por la definición original - por lo tanto debe ser un superconjunto de K. por tanto, tenemos una subcovering con uno de los miembros.