¿Es posible definir "línea recta" lógicamente? Si es posible, ¿cómo lo definirás?

Question

Recientemente estoy estudiando los "ELEMENTOS" de Euclides. Es una traducción de SIR THOMAS L. HEATH. En la parte de definición del primer libro, la segunda definición es "Una línea es longitud sin aliento". Mi pregunta es ¿qué entendemos por Length And Breadth? ¿No es línea recta? ¿Cómo podemos definir la línea con la ayuda del concepto de línea recta? ¿Podemos definir una "Dimensión" lógicamente?

Answer 1

En la axiomática de la geometría, generalmente uno no da una definición o, en particular, la definición no puede ser matemáticos. Definiciones como las de Euclides no tienen matemático sabor, sino que son más bien en el lenguaje humano, y trata de transmitir conceptos intuitivos e imágenes así como para conectar lo que los axiomas están hablando para comprensible la experiencia y hacer que su intención clara. La situación no es diferente en la moderna matemática tratamientos - la diferencia es que nuestros axiomas son, lógicamente, hermético por la manera en que la matemática moderna se lleva a cabo y, además, que en un moderno tratamiento uno es de entrada y honesto que los términos como "línea recta", etc. no se puede definir matemáticamente. Ellos son lo que son llamados "primitivos" de los conceptos. La intuición y el entendimiento intuitivo y conceptos son, en mi opinión, MUY importante, pero tienen que ser guiadas con rigor. El Rigor es el andamiaje, la intuición es que en la que está vestido. El rigor no puede ser entendido sin la intuición (y mucho en la resolución de problemas se realiza en un nivel intuitivo primera), y la intuición puede llevar mal si no también asegúrese de que puede ser seguido en rigor.

Dicho esto, si uno toma el contrario enfoque de la utilización de la analítica de la geometría, en la que la geometría se construye a partir de la recta numérica real utilizando planos de coordenadas o espacios, entonces se puede definir el concepto de una dirección en el espacio utilizando el cálculo, y decir que una línea recta es una curva que conserva una dirección constante. La metodología analítica, por supuesto, es equivalente, pero no admite más generalidad en que se puede generalizar a altamente no-Euclidiana, los espacios líquidos; es el único método en el que cosas como la teoría de Einstein de la relatividad general puede ser mejor formulado.

(Nota histórica: Esta es, por cierto, no digo que Euclides era malo. Las matemáticas en su área cultural, y el tiempo simplemente no tienen la misma metodología, como ahora. Sus axiomas son más como recetas para que indique qué tipo de figuras que se puede construir, pero no tanto recetas de cómo son, de comportarse y de relacionarse. En particular, algunos estudiosos análisis de Euclides han sugerido que sus axiomas, donde hicieron más que prescribir las construcciones a realizar, fueron diseñadas para transmitir lo que podríamos llamar la "métrica" de medición o a distancia aspecto de la geometría Euclidiana, mientras que el "topológico" parte - es decir, intersecciones - iba a ser manejado por el uso de diagramas y el diagrama en sí fue una importante herramienta de razonamiento. Uno puede realmente axiomatize diagramas por separado para el uso de ellos en un moderno marco, pero este enfoque es un poco wordier de lo que debe ser y la mayoría de los enfoques simplemente combine el topológica y métrica axiomas juntos. A pesar de que aún con eso, creo que un caso puede ser hecho de Euclides fue verdaderamente incompleta, como algunos de sus contemporáneos o un poco más tarde sucesores criticado su trabajo en la incompletitud motivos como, por ejemplo, una de las críticas ascendió a que él no sabe realmente que una línea recta no podía cumplir con otro en más de un punto.)

Answer 2

Una línea recta es hoy en día definido en una forma abstracta, utilizando axiomas:

• Por dos puntos distintos del plano pasa una y sólo una línea recta.

• Cualquier recta que contiene al menos dos puntos.

• Hay al menos tres de los países no alineados puntos.

• Si B está entre a y C, entonces B se encuentra entre C y A.

• Deje que B y D dos puntos distintos. Hay tres puntos a, C, E de (BD) tal que B ∈]AD [a, C ∈]BD[ y D ∈] [.

• Dados tres puntos de una línea recta, uno y sólo uno de ellos se encuentra entre los otros dos.

• ...

La línea recta es, de hecho, no se da una definición en el sentido de que tiene en mente. Sólo las propiedades esenciales de las líneas y los puntos están en la lista.

Answer 3

Sí, usted puede definir las dimensiones de un lugar, de forma coherente, a través de todas las categorías ver que hay. La única cosa que todos estos definición tienen en común es que el espacio vectorial cartesiana $R^n$ tiene dimensión $n$.

Se advierte sin embargo de algunas naciones unidas-intuitiva de los hechos, como negativos, Lebesgue dimensión de espacios topológicos o no enteros de dimensión de Hausdorff de espacios métricos.

Tenga en cuenta también que el cohomological dimensión es más que un número único, ya que es necesario no sólo para medir la dimensión del espacio, pero la dimensión de los agujeros en él.

Answer 4

Si usted puede definir la "línea" depende de lo que otros términos no hay (cada teoría tiene que tener algunos primitivos, después de todo).

Alguna vez he jugado con el desarrollo de los axiomas de la geometría Euclidiana, donde la única primitivas eran "punto" y la relación "los Puntos a y B están más cerca que los puntos C y D" (simbolizado como $AB \prec CD$). A continuación, la definición de

• Equidistancia: $AB \sim CD$ si $AB \not\prec CD$$CD \not\prec AB$. Clases de equivalencia de a $\sim$ longitud definida.
• $B$ entre $A$ $C$ si entre todos los puntos de $D$$BD \sim BC$, sostiene que $AD \preceq AC$.
• $A, B, C$ son colinear si uno de los puntos que está entre los otros dos.
• Un espacio lineal es un conjunto de puntos tales que para cada dos puntos en ella, todos los otros puntos colinear con ellos también están contenidas en ella.
• El lapso de una colección de puntos es el más pequeño espacio lineal que contiene la colección completa.
• Una línea es un espacio lineal generado por dos puntos. Un avión es un espacio lineal generado por los tres puntos, etc.

No hubo problemas lógicos con el proyecto, pero he abandonado porque los axiomas necesarios para asegurarse de que todo se comportaba correctamente pudieron levantarse de la mano, lo que hizo este enfoque conceptualmente mucho más difícil que los enfoques más comunes.