$H \leq \mathbb{Z}_q^n$ y$H \cong \mathbb{Z}_q^m$ implica que$\mathbb{Z}_q^n / H \cong \mathbb{Z}_q^{n-m}$

Question

Le da un par de enteros positivos $n,q$ y un subgrupo $H \leq \mathbb{Z}_q^n$ tal que $H \cong \mathbb{Z}_q^m$ positivo entero $m < n$ a continuación muestran que la $$ \mathbb{Z}_q^n / H \cong \mathbb{Z}_q^{n-m}.$$

Este es un problema que se me ocurrió tratar de generalizar el caso trivial al $q$ es un número primo (es trivial porque en este caso una $\mathbb{Z}_q$- módulo es un espacio vectorial).

De hecho, encontré una prueba, pero creo que es demasiado largo para tal declaración, por lo que no estoy pidiendo consejos o sugerencias: mi pregunta es si alguien es capaz de encontrar una mejor prueba (incluso un boceto estaría bien).

Answer 1

Deje $e_i$ ser el componente de los vectores de $G=\mathbb{Z}_q^n$, lo que ha $1$ $i$th lugar, y cero en otro lugar. Considere la posibilidad de que los generadores de $H$; vamos a escribir uno como $$ h_1 = (a_1, \ldots, a_n) $$

Este elemento tiene orden de $q$, por lo que uno de los componentes tiene orden de $q$: decir $a_i$. Entonces $$ \{h_1\}\bigcup \{e_j\mid j\neq i\}$$ es un grupo electrógeno $G$ $n$ orden$q$ elementos; por lo tanto existe un automorphism de $G$ envío de $h_1$$e_i$. Así, podemos cociente fuera $e_1$, y la inducción en $m$ muestra $G/H\cong \mathbb{Z}_q^{n-m}$.

Edit: El anterior solo funciona para $q$ un primer poder, pero que termina siendo suficiente. Debido a $G$ puede ser escrito como un producto directo de sus subgrupos de Sylow $$ G = P_1\times P_2\times\cdots\times P_r $$ donde cada subgrupo de Sylow es el único en $G$. Consideraciones de orden espectáculo $$ H = (H\cap P_1)(H\cap P_2)\cdots(H\cap P_r) $$ y este producto es directa ya que los factores que han trivial intersección.

Así $$ G/H\cong P_1/(H\cap P_1)\times P_2/(H\cap P_2)\cdots $$ y estos grupos tienen la forma deseada por la primera parte de esta respuesta.

Answer 2

$\require{AMScd}$ Aquí es un poco diferente punto de vista, que podría aclarar lo que está sucediendo.

Deje $A=\mathbb{Z}^n$ con base $e_1,\ldots,e_n$. También vamos a $K=qA$, la cual es una característica de los subgrupos de $A$, ya que para $\phi\in\textrm{Aut}(A)$, $\phi(qa)=q\phi(a)\in K$.

Por lo $G\cong A/K$; deje $H$ ser generados por $h_1,\ldots,h_m$, todos de la orden de $q$. Deje $b_i$ ser una preimagen de $h_i$ $A$ [que sólo puede tener el mismo sistema de coordenadas de $h_i$]. A continuación, $B=\langle b_1,\ldots,b_m\rangle$ mapas a $H$.

Ahora existe un automorphism $\phi\in\textrm{Aut}(A)$ envío de $e_i$$f_i$, de tal manera que $b_i$ es enviado a $n_if_i$ para algunos enteros $n_i$. Así tenemos el diagrama conmutativo

\begin{CD} A @>{\phi}>> A\\ @VVV @VVV \\ G @>>{\widetilde{\phi}}> G \end{CD}

con $\widetilde{\phi}\in\textrm{Aut}(G)$. Tenga en cuenta que debemos tener $\gcd(n_i,q)=1$ a fin de $\widetilde{\phi}(h_i)$ a tener un orden $q$. Así tenemos \begin{align*} G &=\langle \widetilde{f_1},\ldots,\widetilde{f_n}\rangle\\ \widetilde{\phi}(H) & =\langle n_1\widetilde{f_1},\ldots,n_m\widetilde{f_m}\rangle\\ &= \langle\widetilde{f_1},\ldots,\widetilde{f_m}\rangle \end{align*} El problema entonces es trivial.