En la serie$\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2+1}$.

Question

Demostrar que

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2+1} = \frac{\pi \cosh (\pi -1)}{\sinh \pi }$$

Ya tengo una solución con el uso de la transformada de Fourier de la expansión de la función exponencial. Estoy interesado en un complejo método de análisis. Sería natural considerar la función

$$f(z) = \frac{\pi \cot \pi z \cos z}{z^2+1}$$

y que la integran alrededor de un adecuado contorno $\Gamma_N$ ( por decir un cuadrado ) de Los residuos en $z=i$ $z=-i$ son iguales;

$$\mathfrak{Res}_{z=i} f(z) = \mathfrak{Res}_{z=-i} f(z) = - \frac{\pi \cosh 1 \coth \pi}{2}$$

Por lo tanto,

$$\frac{1}{2\pi i } \oint \limits_{\Gamma_N} f(z) \, \mathrm{d}z = \sum_{n=-N}^{N} \mathfrak{Res}_{z=n} f(z) + \mathfrak{Res}_{z=i} f(z) + \mathfrak{Res}_{z=-i} f(z)$$

Si dejamos $N \rightarrow +\infty$ el contorno iría a $0$ y nos gustaría recoger el resultado. Sin embargo, este no es el caso. Falta algo. La pregunta principal es ¿por qué? Puedes sugerir un kernel apropiado de la función así como un contorno?

Answer 1

Sugerencia: intente integrar$$f(z)=\frac{{\pi {e^{iz}}}}{{({z^2} + 1)({e^{2\pi iz}} - 1)}}$ $ alrededor del contorno rectangular con vértices$\pm R \pm Ri$, con$R$ medio entero. Es posible que desee comprobar cuidadosamente que la integral de hecho tiende a$0$.

La suma de residuos en$z=\pm i$ es$\frac{i}{2}\frac{{\pi \cosh (\pi - 1)}}{{\sinh \pi }}$, lo que da$$ - \frac{i}{2}\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\frac{{{e^{in}}}}{{{n^2} + 1}}} + \frac{i}{2}\frac{{\pi \cosh (\pi - 1)}}{{\sinh \pi }} = 0$ $