Si$|A \cup B \cup C | = |A| + |B| + |C|$, entonces$A, B$, y$C$ deben estar disjuntos por parejas

Question

Vamos a, B, y C finita de conjuntos. Demostrar o refutar:

Si $|A \cup B \cup C | = |A| + |B| + |C|$,$A, B$, e $C$ debe ser de a pares distintos.

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Empecé con la inclusión-exclusión de la fórmula

$$|A \cup B \cup C | = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$$

Hipótesis dice que si $|A \cup B \cup C | = |A| + |B| + |C|$, entonces la expresión se $|A \cap B \cap C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| $, debe ser igual a cero. Por lo tanto, tenemos

$$ |A \cap B \cap C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| = 0$$ $$ |A \cap B \cap C| = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| \tag{1}$$

Ahora, no estoy seguro de cómo terminar esta prueba. He encontrado dos maneras, pero no sé si son correctas.

Primera forma

Si $x \in |A \cap B \cap C|$,$x \in |A \cap B| \wedge x\in |A \cap C| \wedge x \in |B \cap C|$.

Así que si se tiene en cuenta la cardinalidad de a $|A \cap B \cap C| = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|$, entonces si $x \in |A \cap B \cap C|$ $x$ se cuenta una vez, pero sobre RHS $x$ es contado tres veces. Por lo tanto la ecuación es verdadera si $A = B = C = \emptyset$.

Por lo tanto, $A, B,$ $C$ son pares distintos.

La segunda manera

De la inclusión-exclusión de la fórmula, sé que $$|A \cap B \cap C| = - |A| - |B| - |C| + |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - |A \cup B \cup C |$$ Me sustituir en la ecuación (1) $$ -|A| - |B| - |C| + |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - |A \cup B \cup C | = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|$$ La expresión $|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|$ cancela. $$ |A| + |B| + |C| + |A \cup B \cup C | = 0$$

Y esta ecuación es verdadera si $A = B = C = \emptyset$.
Por lo tanto, $A, B,$ $C$ son pares distintos.

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Mi pregunta es de que manera es la correcta y mejor, o si hay un método diferente para probar la proposición. Gracias. (Yo soy de autoaprendizaje del estudiante, que es la lectura de un libro de texto acerca de la matemática discreta).

Answer 1

Supongamos que$A$,$B$,$C$ no están separados por pares. Entonces la intersección de dos de ellos, wlog$A$ y$B$, es no vacía. Ahora$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| < |A| + |B|$ y$|A \cup B \cup C| \le |A \cup B| + |C| < |A| + |B| + |C|$.

Answer 2

• Tu primera forma es correcta a menos que$A \cap B \cap C=\emptyset.$
• La ecuación en su segunda forma debe corregirse como$$|A \cap B \cap C| = - |A| - |B| - |C| + |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| + |A \cup B \cup C |$ $ y sustituirla no lleva a nada (ya que usa la misma ecuación dos veces).

Así es como respondería esta pregunta (usando el principio de exclusión de inclusión):
$A \cap B \cap C\subset A \cap B$ y por lo tanto $|A \cap B \cap C| \le |A \cap B|, |A \cap C|, |B \cap C|.$
Entonces tenemos$$3|A \cap B \cap C| \le |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|.$$ Now combining this with what you have already found $$|A \cap B \cap C| = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|,$$ we can say $$|A \cap B| =|A \cap C| = |B \cap C|=|A \cap B \cap C|=0 .$ $