Las conexiones entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica

Question

He estado estudiando la mecánica cuántica y la mecánica clásica para un poco mientras que ahora, y todavía no me siento como si estoy totalmente de entender la motivación de algunas de nuestras opciones de Heisenberg de la mecánica. Por ejemplo, es evidente que no es una coincidencia que el clásico observables (funciones de coordenadas y su conjugado momenta) y el quantum observables (Hermitian operadores) parecen formar análoga álgebras de Lie con el corchete de Poisson y colector, respectivamente. Pero no está claro para mí por qué esto es cierto. ¿Hay algún significado profundo contenidas en esta declaración? O es más indicativo del hecho de que en la construcción de un modelo cuántico del universo que fue la inspiración de nuestra intuición y previo estudio de la mecánica clásica?

A lo largo de estas mismas líneas, lo que motiva el movimiento de las clásicas funciones en el espacio de fase a Hermitian operadores? Entiendo por qué los operadores correspondientes a las características observables deben ser auto-adjoint (los autovalores debe ser real), pero no entiendo qué es lo que motiva el movimiento de los operadores en general. ¿Por qué hemos de esperar que los operadores en un espacio de Hilbert daría física predicciones? Parte de mi confusión aquí también puede provenir del hecho de que no está del todo claro para mí lo que exactamente estos operadores a hacer en todos los casos. Por ejemplo, tengo que $\langle \psi | \hat{x} | \psi \rangle$ corresponde a la espera de la posición de una partícula en el estado de $|\psi\rangle$, pero es mucho menos obvio que el $\hat{x}$ operador hace a un estado en general. En algunos casos (como $J_\pm$ cuando se considera el momento angular), está claro lo que el operador lo que hace a un estado (aumenta o reduce el autoestados de $J_z$), pero en todos estos casos el operador no es Hermitian. Tal vez la respuesta a esta pregunta es simplemente que el modelo da la exactitud de las predicciones y así que lo uso, pero me pregunto si hay una mejor manera de pensar acerca de estas cosas.

Answer 1

Pregunta:

"¿Hay algún significado profundo contenidas en esta declaración? O es más indicativo del hecho de que en la construcción de un modelo cuántico del universo que fue la inspiración de nuestra intuición y previo estudio de la mecánica clásica?"

Ambas variantes son verdaderas.

Cuando el desarrollo de la teoría especial de la relatividad, Einstein no empezar desde cero, pero a partir de la mecánica clásica, complementado con el hecho de que la velocidad de la luz es la misma en cualquier sistema inercial. No inventamos los conceptos de espacio, tiempo, velocidad, etc. Estaban ya en uso.

Con la QM, no inventamos la posición, el momento lineal, momento angular, etc. Nos acaba de llegar a la conclusión de que algunos objetos se comportan como ondas, y por su descripción necesitamos una ecuación que describe la evolución de una onda (de hecho el Schrödinger eq. es más parecido a la ecuación del calor, sólo el coeficiente de difusión es imaginario - estas cosas se discute en relación con otras cuestiones). También, llegamos a la conclusión de que algunas de las propiedades físicas no admitir continuo de valores, pero valores discretos.

Así, hemos desarrollado el QM mediante la introducción de modificaciones en la mecánica clásica - el átomo de Thomson, el modelo de Bohr del átomo, el día modelo basado en la ecuación de Schrödinger.

Acerca de los operadores:

Heisenberg desarrolló primero una matriz de cálculo. ¿Por qué las matrices? En primer lugar, porque algunas cantidades físicas tienen valores discretos que puede ser obtenida de un problema con discretos funciones propias y valores propios (que debería haber aprendido de cálculo de valores propios y funciones propias de las matrices). Así, una cantidad, por ejemplo, la proyección del momento angular, puede tener algún valor $q$, cuando el sistema se encuentra en una determinada situación (estado). Por el camino, cuando Schrödinger desarrolló su ecuación, que ha tenido adherido a la idea de naturaleza estadística de gestión de calidad. Por lo tanto, un estado cuántico permite para algunos observables de un valor preciso, pero para otros observables (que puede ser la posición) sólo predicciones estadísticas.

La generalización de las características observables con un espectro continuo de valores, es inmediata.