Por qué $\sum_{k=1}^m \left(\cos{\frac{2\pi k}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2}$ converge a $\sum_{k=1}^\infty e^{-2\pi^2k^2}$ ?

Question

Mientras consideraba el paseo aleatorio en $S^1$ Necesitaba calcular lo siguiente.

$$\lim_{m\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^m \left(\cos{\frac{2\pi k}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2}$$

Supongo que debería converger a la traza del núcleo de calor en $S^1$ . Así que intenté usar Mathematica. Mathematica dice que converge a la siguiente serie:

$$\sum_{k=1}^\infty e^{-2\pi^2k^2}$$

Pero, ¿cómo podemos demostrar que esto es cierto?

por supuesto, demostrando $$\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\cos{\frac{2\pi k}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2}=e^{-2\pi^2k^2}$$ es fácil para cada fijo $k$ (se puede aplicar la regla de l'hospital o utilizar la expansión de taylor).

Pero no sé cómo mostrar $$\lim_{m\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^m \left(\cos{\frac{2\pi k}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2}=\sum_{k=1}^\infty e^{-2\pi^2k^2}$$ .

-La versión generalizada de la pregunta anterior es la siguiente: supongamos una secuencia doblemente indexada $\{a_{mk}\}_{m\in\mathbb{N},1\leq k\leq m}$ y una secuencia $\{b_k\}_{k=1}^\infty$ cumplen las dos condiciones siguientes:

(1) $\lim_{m\rightarrow\infty}a_{mk}=b_k$ para cada número entero positivo $k$ .

(2) $\sum_{k=1}^\infty b_k$ converge.

Entonces, ¿podemos concluir $\lim_{m\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^m a_{mk}=\sum_{k=1}^\infty b_k$ ? En general no es cierto (considere $a_{mk}=b_k+m^{-1/2}$ ). Para que el límite sea verdadero, ¿qué tipo de supuestos adicionales necesitamos? ¿Quizás haya algún resultado conocido sobre esta cuestión general?

Answer 1

Un boceto:

Aprovechando la simetría de la suma, podemos reescribirla como

$$ \begin{align} &\sum_{k=1}^m \left(\cos{\frac{2\pi k}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2} \\ &\qquad = \sum_{k=1}^{m/2} \left(\cos{\frac{\pi 2k}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2} - \sum_{k=1}^{m/2} \left(\cos{\frac{\pi (2k-1)}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2}, \tag{$*$} \end{align} $$

suponiendo que $m$ está en paz. Para los fijos $k$ tenemos

$$ \lim_{m \to \infty} \left(\cos{\frac{\pi 2k}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2} = e^{-(\pi 2k)^2/2} $$

y

$$ \lim_{m \to \infty} \left(\cos{\frac{\pi(2k-1)}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2} = e^{-(\pi(2k-1))^2/2}. $$

Entonces, aplicando el teorema de convergencia dominada a cada suma en $(*)$ utilizando las relaciones de dominación

$$ \left(\cos{\frac{\pi 2k}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2} \leq e^{-(\pi 2k)^2/2} $$

y

$$ \left(\cos{\frac{\pi(2k-1)}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2} \leq e^{-(\pi(2k-1))^2/2} $$

produce

$$ \begin{align} \lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^m \left(\cos{\frac{2\pi k}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2} &= \sum_{k=1}^{\infty} \left(e^{-(\pi 2k)^2/2} - e^{-(\pi(2k-1))^2/2}\right) \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k e^{-(\pi k)^2/2}. \end{align} $$

Mathematica puede evaluar esta suma en términos de funciones elípticas, y su valor numérico es

$$ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k e^{-(\pi k)^2/2} \doteq -0.00719\ 18806\ 80538\ 37459. $$

En comparación, el comando de Mathematica

m=200;Sum[Cos[2 Pi k/(2 m+1)]^((2 m+1)^2),{k,1,m}]//N

devuelve la aproximación numérica de la suma original cuando $m = 200$

$$ \left. \sum_{k=1}^m \left(\cos{\frac{2\pi k}{2m+1}}\right)^{(2m+1)^2} \right|_{m = 200} \doteq -0.00719\ 152. $$

Answer 2

En respuesta al caso general:

Reclamación:

Si $|f_m(k)|\le g(x)$ donde $g$ es una función integrable, y $\lim_{m\to\infty}f_m(x)=f(x)$ entonces $$\lim_{m\to\infty}\sum^m_{k=1}f_m(k)=\sum^\infty_{k=1}f(k)$$

Prueba:

Definir una "función escalonada": $$ H_t(x)= \begin{cases} 1, & x\le t\\ 0, & x>t \end{cases} $$

Entonces, $$S(m):=\sum^m_{k=1}f_m(k)=\sum^\infty_{k=1}f_m(x)H_m(x)$$

Dejemos que $\mu$ sea la medida de recuento en $\mathbb N$ .

Entonces, $$S(m)=\int f_m(x)H_m(x) d\mu$$

Desde $|f_m(x)H_m(x)|\le |f_m(x)|\le g(x)$ por el teorema de convergencia dominante, $$\lim_{m\to\infty}S(m)=\int\lim_{m\to\infty}f_m(x)H_m(x)d\mu=\int f(x) d\mu=\sum^\infty_{k=1}f(k)$$

Q.E.D.

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