Deje$X \sim \text{Unif}(0,1)$, ¿cuál es la función de densidad de$X (1-X)$?

Question

Traté de respuestas de https://stats.stackexchange.com/questions/21549/how-to-add-two-dependent-random-variablessin embargo, no puede resolver mi problema.

Supongo que es $$f_{X, -X^2}(x, y) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1, y = -x^2; \\ 0, & \text{else}. \end{casos}$$ Entonces, la integral $$f_{X-X^2}(z) = \int_{0}^1 f_{X, -X^2}(a, z-a) \ da$$ gives me trouble, since for a given $z$ the integrand becomes one exactly for two $un$, i.\,e. when $$z-a = -a^2 \Leftrightarrow a_{1,2} = \frac{1}{2} +- \sqrt{\frac{1}{4} - z}.$$ Además, he visto que el producto varía en $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ y que no hay simetría entre las $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$$x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$.

1. ¿Qué estoy haciendo mal?
2. Cuál es la forma correcta para llegar a la densidad?

Answer 1

$\newcommand\P{\mathbb{P}}$Deje $X\sim\text{Unif}(0,1)$. A continuación, para $0<t<1/4$ $$ \P(X(1-X) < t) = \P(X < \tfrac{1}{2}(1 - \sqrt{1-4t})\text{ o }X > \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{1-4t})) $$ Por simetría esto nos dice $$ \P(X(1-X) < t) = 2\P(X < \tfrac{1}{2}(1 - \sqrt{1-4t})) = 1 - \sqrt{1 - 4t}. $$ Para hallar la densidad a continuación, podemos diferenciar: $$ f_{X(1-X)}(t) = \frac{d}{dt}\biggl[1 - \sqrt{1 - 4t}\biggr] = \frac{1}{2}\frac{4}{\sqrt{1-4t}} = \frac{2}{\sqrt{1-4t}} $$ donde $t\in[0,\tfrac{1}{4}]$. Este se concentra en $t$ de aumento desde el cuadrática se obtiene más plana.