Conjunto
$$f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{i=1}^3\left(\frac{x_i}{x_i^{11}+1}\right)^2$$
y establecer $G(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2x_3-1$.
Queremos maximizar $f$ en el conjunto de $S=\{\mathbb{x}\colon G(\mathbb{x})=0\}$.
Tenga en cuenta que $f$ es diferenciable, que $G$ es continuamente diferenciable, y que $\nabla G(\mathbb{x})\neq\mathbb{0}$$S$.
También, una compacidad argumento muestra que el $f$ supone un máximo de $\mathbb{a}$$S$.
A continuación, el método de multiplicadores de Lagrange muestra que $\nabla f(\mathbb{a})=\lambda\nabla G(\mathbb{a})$ algunos $\lambda\in\mathbb{R}$ (véase la sección 2.9 de Folland del Cálculo Avanzado, por ejemplo).
Por lo tanto,
$$2\frac{\mathbb{a}_i(1-10\mathbb{a}_i^{11})}{(\mathbb{a}_i^{11}+1)^3}=\partial_if(\mathbb{a})=\lambda\partial_jG(\mathbb{a})=\lambda \mathbb{a}_i^{-1}$$
para todos los $1\leq i\leq 3$.
Equivalentemente,
\begin{equation}\frac{\mathbb{a}_i^2(1-10\mathbb{a}_i^{11})}{(\mathbb{a}_i^{11}+1)^3}=\frac{\lambda}{2}\end{equation}
para todos los $1\leq i\leq3$.
Conjunto
$$p(x)=\frac{x^2(1-10x^{11})}{(x^{11}+1)^3}.$$
Queremos encontrar a $\mathbb{a}_1,\mathbb{a}_2,\mathbb{a}_3>0$ tal que $p(\mathbb{a}_1)=p(\mathbb{a}_2)=p(\mathbb{a}_3)$ que $\mathbb{a}_1\mathbb{a}_2\mathbb{a}_3=1$.
Deje $g(x)=x/(x^{11}+1)$ y deje $h(x)=f(x)^2$. Entonces
$$g^\prime(x)=\frac{1-10x^{11}}{(x^{11}+1)^2}.$$
Esto demuestra que $g^\prime(x)>0$ $x\in(0,10^{-1/11})$ y $g^\prime(x)<0$$x\in(10^{-1/11},\infty)$.
Sin embargo, $h^\prime(x)=2g(x)g^\prime(x)$$h^\prime(x)>0$$x\in(0,10^{-1/11})$$h^\prime(x)<0$$x\in(10^{-1/11},\infty)$.
Deje $0<a\leq b\leq c$ maximizar la suma de $h(a)+h(b)+h(c)$$abc=1$.
Tenga en cuenta que$1=abc\leq c^3$$c\geq1$.
Si $a<10^{-1/11}$ aumentar $a$ y la disminución de $c$ contradice maximality.
Por lo tanto, $a\geq10^{-1/11}$.
Este resultado también se obtiene considerando la gráfica de $p(x)$.
Tenga en cuenta que$1=abc\geq a^2c\geq10^{-2/11}c$$c\leq10^{2/11}$.
Si $b\geq1$
$$h(a)+h(b)+h(c)\leq h(10^{-1/11})+2h(1)\leq1.044$$
lo que se contradice con maximality (que hay soluciones mejores que $1.044$).
Si $a\geq0.93$
$$h(a)+h(b)+h(c)\leq 2h(0.93)+h(1)\leq1.073$$
lo que se contradice con maximality (que hay soluciones mejores que $1.073$).
En resumen, $10^{-1/11}\leq a\leq b\leq1\leq c\leq10^{2/11}$$a\leq0.93$.
La gráfica de $p(x)$ tiene un chapuzón $x=1$.
Hemos demostrado que dos de las $\mathbb{a}_i$ acuéstese sobre el lado izquierdo de la inmersión y que una de las $\mathbb{a}_i$ se encuentra en el lado derecho de la dip.
En particular, el más pequeño de los dos $\mathbb{a}_i$ deben de coincidir.
Esto reduce el problema a la maximización de la función de
$$q(x)=2\left(\frac{x}{x^{11}+1}\right)^2+\left(\frac{x^{-2}}{x^{-22}+1}\right)^2=2\left(\frac{x}{x^{11}+1}\right)^2+\left(\frac{x^{20}}{x^{22}+1}\right)^2.$$
Sabemos que el máximo debe ocurrir en el intervalo de $[10^{-1/11},0.93]$.
Supongamos, además, que $q(x)>10^7/9193531$.
Podemos calcular (con software)
\begin{align*}
q^\prime(x)&=\frac{4x}{(x^{11}+1)^2}-\frac{44x^{61}}{(x^{22}+1)^3}+\frac{40x^{39}}{(x^{22}+1)^2}-\frac{44x^{12}}{(x^{11}+1)^3}\\
&=\frac{4x}{(x^{11}+1)^2}\left(\frac{1-10x^{11}}{x^{11}+1}\right)+\frac{4x^{39}}{(x^{22}+1)^2}\left(\frac{10-x^{22}}{x^{22}+1}\right)
\end{align*}
y así
\begin{align*}
|q^\prime(x)|&\leq\left|\frac{4x}{(x^{11}+1)^2}\left(\frac{1-10x^{11}}{x^{11}+1}\right)\right|+\left|\frac{4x^{39}}{(x^{22}+1)^2}\left(\frac{10-x^{22}}{x^{22}+1}\right)\right|\\
&\leq4x\left|1-10x^{11}\right|+4x^{39}\left|10-x^{22}\right|
\end{align*}
para $x\in[0,1]$.
En particular, $|q^\prime(x)|\leq16$$x\in[10^{-1/11},0.93]$.
El cálculo de $q(x)$
$$x\in\{0.93,0.91,0.895,0.885,0.877,0.87,0.865,0.861,0.857,0.854,0.851\}$$
muestra que $x\in[10^{-1/11},0.85]$. Volver a calcular la derivada de los límites muestra que $|q(x)-q(y)|\leq2.5|x-y|$$x,y\in[10^{-1/11},0.85]$.
El cálculo de $q(x)$
$$x\in\{0.85,0.836,0.83,0.827\}$$
muestra que $x\in[10^{-1/11},0.825]$. Volver a calcular la derivada de los límites muestra que $|q(x)-q(y)|\leq0.45|x-y|$$x,y\in[10^{-1/11},0.83]$.
El cálculo de $q(x)$
$$x\in\{0.825,0.818,0.816\}$$
muestra que $x\in[10^{-1/11},0.815]$. Volver a calcular la derivada de los límites muestra que $|q(x)-q(y)|\leq0.2|x-y|$$x,y\in[10^{-1/11},0.815]$.
El cálculo de $q(x)$
$$x\in\{0.815,0.8137,0.8131,0.8128,0.8126,0.81243,0.8123,0.8122,0.81213,0.81207,0.81202\}$$
muestra que $x\in[10^{-1/11},0.812]$. Volver a calcular la derivada de los límites muestra que $|q(x)-q(y)|\leq0.051|x-y|$$x,y\in[10^{-1/11},0.812]$.
Finalmente, el cálculo (con software) $q(x)$ en incrementos de $10^{-6}$ en el intervalo de $[10^{-1/11},0.812]$ se muestra en el resultado.
Probablemente hay una mejor manera de determinar el máximo de $q(x)$. Por ejemplo, la ecuación de $q^\prime(x)=0$ define un polinomio de grado 94 con una raíz en la ubicación deseada. Esta raíz se puede encontrar con precisión arbitraria, con el método de Newton.
