A menudo encuentro el término canónico en mi estudio de la física. ¿Qué significa? Existe el momento canónico, las transformaciones canónicas e incluso he oído la frase "demostrar algo más canónicamente". ¿Qué significa la palabra en cada uno de estos contextos?
A veces sólo significa "oficial" o "normalizado" o "realmente importante", pero normalmente tiene el significado más preciso de "relativo a la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica". Los momentos canónicos suelen introducirse por primera vez en el marco lagrangiano, pero son los momentos que aparecen en el espacio de fases de la mecánica hamiltoniana. Las transformaciones canónicas son simetrías de ese espacio de fases que preservan la estructura simpléctica. La teoría de perturbaciones canónicas se formula dentro de la mecánica hamiltoniana. Las relaciones de conmutación canónicas son una versión cuantificada de los corchetes de Poisson (según la regla de cuantificación de Dirac).
'Las transformaciones canónicas son simetrías de ese espacio de fase que preservan la estructura simpléctica', ¿podrías explicarlo un poco?
@AbhirupMukherjee La "estructura simpléctica" significa básicamente los valores de todos los corchetes de Poisson entre las distintas cantidades. Un cambio de variables es una "transformación canónica" si las expresiones de los corchetes de Poisson de las nuevas variables son las mismas que las de las antiguas.
Así que la definición de transformación canónica es aquella que preserva los corchetes de Poisson. Pero entonces, ¿no hay un significado general para esta palabra? ¿Una que abarque todos sus usos?
Incluso en física, el término canónico requiere una desambiguación para mayor claridad. En los contextos que citas, significa que es una forma más general. Por ejemplo, si se trata del momento, el momento canónico se refiere a $p = p + q \bf{A}$ Sin embargo, el momento en un curso de física newtoniana se referiría con toda seguridad a $p=mv$ Así, un profesor podría llamar canónico al impulso para aclarar que no se refiere a la versión más simple, sino a la más general.
Para otros usos de canónico, véase la desambiguación de Wikipedia más abajo:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Canonical
Espero que esto aclare su respuesta.
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En física significa básicamente "el importante/estándar", mientras que en matemáticas significa algo totalmente diferente, "lo único que puedes conseguir sin hacer ninguna elección arbitraria".
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@knzhou Eso es una respuesta, ¿no?
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@knzhou En matemáticas, ¿no significa también " estandarizado "? A menudo hacer tener que tomar algunas decisiones arbitrarias para conseguir algo en forma canónica, pero el punto es que la comunidad ha acordado que elecciones arbitrarias que hacer para que no quede libertad. No hay nada objetivamente natural en poner las filas más largas en la parte superior de una matriz escalonada de filas reducidas en lugar de la parte inferior, o en poner las de la superdiagonal en lugar de la subdiagonal en la forma normal de Jordan.
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@knzhou Como dice el artículo de la wiki, "las formas canónicas dependen frecuentemente de elecciones arbitrarias".
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@tparker Yo llamaría a todas esas instancias "canónicas" matemáticas aplicadas, así que realmente hay 3 significados distintos para 3 departamentos distintos.
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@knzhou ¿Podría dar un ejemplo de su "uso matemático puro"? Creo que nunca me he encontrado con ese uso.
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@tparker Algunos ejemplos aquí . "Natural" sería más común para este significado específico, pero canónico también se utiliza con esta connotación, aunque no es exactamente lo mismo.