¿Tiene esta solución única I.V.P.?

Question

Lo sé. $$\begin{cases} y’=|y|\\ y(0)=0 \end{cases} $$ Tiene la solución $y\equiv 0$ ... ¿tiene otro?

La pregunta es sobre el teorema de existencia y unicidad porque $\partial_y f(x,y)$ no es continuo

Answer 1

Con

$f(y) = \vert y \vert, \tag 1$

tenemos

$\vert f(y_1) - f(y_2) \vert = \vert \vert y_1 \vert - \vert y_2 \vert \vert \le \vert y_1 - y_2 \vert, \tag 2$

que muestra que $f(y) = \vert y \vert$ es continua de Lipschitz con la constante de Lipschitz $1$ Por lo tanto, por la Teorema de Picard-Lindelof la ecuación

$\dot y = \vert y \vert \tag 3$

tiene una solución única en algún intervalo alrededor de cualquier punto inicial $y_0 = y(t_0)$ . Así que la única solución con $y(0) = 0$ es idéntico a cero, $y(t) \equiv 0$ .

Esto no debería sorprender demasiado, ya que $\vert 0 \vert = 0$ Así que $0$ es un equilibrio de (3).

Por último, no necesitamos $f(y)$ diferenciable, simplemente continua de Lipschitz, para que se aplique la existencia y la unicidad.

Nota añadida en la edición, el viernes 17 de agosto de 2018 11:14 PM PST: Para que esta respuesta sea realmente completa, probablemente deberíamos mostrar también que la solución única $y(t) \equiv 0$ en un intervalo de aproximadamente $0$ se extiende de forma única a $(-\infty, \infty)$ pero voy a dejar esta discusión para más adelante. Fin de la nota.

Answer 2

Prueba directa: cualquier solución $y$ será no decreciente ya que $y'(x) = |y(x)|\ge 0$ . Entonces $y(x)\ge 0$ para $x\ge 0$ y $y'(x) = y(x)$ para $x\ge 0$ . Integrar, $$y(x) = y(x) - y(0) = \int_0^x y = 0 + \int_0^x y.$$ Ahora, aplicando el Lema de Gronwall , $y(x)\le 0$ para $x\ge 0$ .

EDIT: prueba aún más directa (sin Gronwall).

Toma $x_0\in(0,1)$ . Integrar como antes y usar esa $y$ no es decreciente, $$y(x_0) = \int_0^{x_0} y\le x_0\,y(x_0)\implies y(x_0) = 0,$$ es decir, $y\equiv 0$ en $[0,1)$ Así que en $[0,1]$ por la continuidad. El mismo argumento funciona en $[1,2]$ , $[2,3]$ ,...