¿Existe un triángulo rectángulo con área 7 y perímetro 12?

Question

Esta pregunta es realmente trivial. Puedo demostrar que no hay ningún triángulo rectángulo con área 7 y perímetro 12, pero lo que hago es resolver el siguiente sistema: si $a$, $b$ y $c$ son, respectivamente, los dos catetos y la hipotenusa de dicho triángulo, entonces

$$a^2 + b^2 = c^2,$$ $$a + b +c = 12,$$ $$ab = 14$$

Es fácil (aunque un poco aburrido y largo) ver que no hay soluciones reales para este sistema.

Pero siento que hay una respuesta simple a esta pregunta, tal vez utilizando la desigualdad del triángulo, pero simplemente no puedo verla.

Answer 1

No estoy seguro si esto cuenta como una "respuesta simple", pero deja que $x$ sea la longitud de una de las patas de un triángulo rectángulo de área $7$; entonces la otra pata es $\frac{14}{x}$, y la hipotenusa es $\sqrt{x^2 + \left(\frac{14}{x}\right)^2}$, por lo que el perímetro está dado por la función $$P(x) = x + \frac{14}{x} + \sqrt{x^2 + \left(\frac{14}{x}\right)^2}$$

Asintóticamente, tenemos que $\lim_{x\to 0} P(x) = +\infty$ y $\lim_{x\to\infty} P(x) = +\infty$, e intuitivamente parece claro que el mínimo absoluto ocurre cuando las dos patas del triángulo tienen la misma longitud, es decir, cuando $x=\sqrt{14}$. En este valor, tenemos $$P(\sqrt{14}) = 2\sqrt{14} +2\sqrt{7}$$ Este es el perímetro más pequeño posible para un triángulo rectángulo de área $7$. Solo queda convencerte de que este número es mayor que $12$.

Answer 2

Si el perímetro es $12$, el triángulo de área máxima es el triángulo equilátero de lado $4$ que tiene un área $2 \times 2\sqrt3<7$ (al elevar ambos lados al cuadrado $48<49$)

Ahora se trata de cómo demostrar que el triángulo de área máxima es equilátero. Primero fija una base AB. El tercer punto C se encuentra en una elipse, y la simetría/convexidad muestran que el área máxima es cuando los dos lados restantes AC y BC son iguales. Así que si los lados no son iguales, obtendrás un área mayor promediando el más corto y el más largo. Para obtener el máximo área (sin mayores ganancias) todos los lados deben ser iguales - por lo tanto equilátero.

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En resumen, una manera más formal de demostrar que el área máxima de un triángulo de perímetro fijo se alcanza cuando el triángulo es equilátero es a través de la fórmula de Herón (el área de un triángulo como función de sus lados) y la media aritmético-geométrica (AM/GM). Con el perímetro $2s=a+b+c$ fijo, notemos que $(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)=2s$ y el producto de los tres términos entre paréntesis es mayor cuando son iguales.

La fórmula de Herón es área =$\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Answer 3

Nota: Esta respuesta es para una versión anterior de la pregunta que pedía un perímetro de $14$.

¿Qué tal $$ \begin{align} a&=4+\sqrt2\\ b&=4-\sqrt2\\ c&=6 \end{align} $$

Answer 4

Si el área era $ 7 $ y el perímetro era $ 12 $ , el radio del círculo inscrito sería $ 14/12 $ (ejercicio: ¿por qué?). El círculo está en la imagen de abajo.

Por otro lado, puedes crear cualquier triángulo rectángulo posible con un perímetro de $ 12 $ eligiendo un punto $ H $ en el arco entre $ U $ y $ V $ ( $ T $ es el centro) y trazando una hipotenusa tangente al arco en $ H $ (ejercicio: ¿por qué el perímetro es independiente de $ H $ , si $ H $ está en el arco?)

Imagina que mueves $ H $ en el arco, generando todos los triángulos posibles. Ninguno de ellos tendría el círculo dado como su círculo inscrito. El radio del círculo es simplemente demasiado grande (o el radio del arco es demasiado pequeño).

Answer 5

Nota: Esta respuesta es para una versión anterior de la pregunta que pedía un perímetro de $14$.

De hecho, existe tal triángulo.

El triángulo rectángulo isósceles con catetos $14/(2+\sqrt2)$ tiene un perímetro de $14$ y un área

$$ \frac12\left(\frac{14}{2+\sqrt2}\right)^2=147-98\sqrt2\approx8.4\;. $$

Por otro lado, un triángulo rectángulo con perímetro de $14$ puede tener un área arbitrariamente pequeña al hacer uno de los catetos arbitrariamente pequeño. Los triángulos rectángulos con perímetro de $14$ pueden ser parametrizados por la longitud del cateto más corto. El área es una función continua de este parámetro. Por el teorema del valor intermedio, hay un triángulo rectángulo con perímetro de $14$ con alguna longitud intermedia del cateto más corto que tiene un área de $7$.