Ofrecemos una relación de recurrencia para el número convergentes a $\frac{1}{e}$. Empezamos con algunos aspectos introductorios.
La representación a través de sumas
Denotamos los elementos de la secuencia que se forma iterativa generado por la OPs regla con $\alpha_n, n\geq 2$ y se derivan para las pequeñas $n$
\begin{align*}
\alpha_2&=\frac{1}{2}\\
\alpha_3&=\frac{1}{2}\sum_{j_1=2}^3\frac{1}{j_1}\tag{i}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{12}=0,41\dot{6}\\
\alpha_4&=\frac{1}{2}\sum_{j_1=2}^3\frac{1}{j_1}\sum_{j_2}^{j_1+1}\frac{1}{j_2}\tag{ii}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sum_{j_2=2}^3\frac{1}{j_2}+\frac{1}{3}\sum_{j_2=2}^4\frac{1}{j_2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\right)
=\frac{7}{18}=0,3\dot{8}\\
\alpha_5&=\frac{1}{2}\sum_{j_1=2}^3\frac{1}{j_1}\sum_{j_2}^{j_1+1}\frac{1}{j_2}\sum_{j_3=2}^{j_2+1}\frac{1}{j_3}\tag{iii}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sum_{j_2=2}^3\frac{1}{j_2}\sum_{j_3=2}^{j_2+1}\frac{1}{j_3}+\frac{1}{3}\sum_{j_2=2}^4\frac{1}{j_2}\sum_{j_3=2}^{j_2+1}\frac{1}{j_3}\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sum_{j_3=2}^3\frac{1}{j_3}+\frac{1}{3}\sum_{j_3=2}^4\frac{1}{j_3}\right)\right.\\
&\qquad \left.+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sum_{j_3=2}^3\frac{1}{j_3}+\frac{1}{3}\sum_{j_3=2}^4\frac{1}{j_3}+\frac{1}{4}\sum_{j_3=2}^5\frac{1}{j_3}\right)\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\right)\right.\\
&\qquad\left.+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)
+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)\right)\right)\\
&=\frac{1\,631}{4\,320}=0,377\,54\overline{629}
\end{align*}
de acuerdo con el OP de cálculo.
De (i),(ii),(iii) obtenemos general $n$:
\begin{align*}
\color{blue}{\alpha_n=\frac{1}{2}\sum_{j_1=2}^3\frac{1}{j_1}\sum_{j_2=2}^{j_1+1}\frac{1}{j_2}\sum_{j_3=2}^{j_2+1}\frac{1}{j_3}
\cdots\sum_{j_{n-2}=2}^{j_{n-3}+1}\frac{1}{j_{n-2}}\sum_{j_{n-1}=2}^{j_{n-2}+1}\frac{1}{j_{n-1}}\qquad\qquad n\geq 3}\tag{1}
\end{align*}
Nota: El omnipresente catalán números ocurrir aquí también. Si escribimos $\alpha_n$
\begin{align*}
\alpha_2&=\frac{1}{2},&C_1=1\\
\alpha_3&=\frac{1}{\color{blue}{2}\cdot 2}+\frac{1}{\color{blue}{2}\cdot 3},&C_2=2\tag{2}\\
\alpha_4&=\frac{1}{\color{blue}{2\cdot 2}\cdot 2}+\frac{1}{\color{blue}{2\cdot 2}\cdot 3}+\frac{1}{\color{blue}{2\cdot 3}\cdot 2}+\frac{1}{\color{blue}{2\cdot 3}\cdot 3}+\frac{1}{\color{blue}{2\cdot 3}\cdot 4},&C_3=5\\
&\ \,\vdots
\end{align*}
vemos que el número de sumandos de $\alpha_n$$C_{n-1}$. La marca en azul factores en $\alpha_n$ provienen de los factores de $\alpha_{n-1}$.
La recurrencia de la relación
Con el fin de encontrar una relación de recurrencia que nos gustaría invertir el orden de la suma en (1). Por desgracia esto es algo engorroso ya que el límite superior de su interior, una suma no muy bien se corresponden con el límite inferior de la siguiente externa de la suma. En su lugar, mostrar la relación con la ayuda del número de triángulos que también puede proporcionar información adicional
$$
\begin{array}{r|cccc}
n&w_{\alpha_2}&w_{\alpha_3}&w_{\alpha_4}&w_{\alpha_5}\\
\hline\\
5&&&&\frac{1}{5}\\\\
4&&&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\\
3&&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\\
2&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
\\
\hline\\
\\
\end{array}
\qquad\qquad\qquad
\begin{array}{r|rrrr}
n&\alpha_2&\alpha_3&\alpha_4&\alpha_5\\
\hline\\
5&&&&\frac{1}{120}\\\\
4&&&\frac{1}{4}&\frac{12}{288}\\\\
3&&\frac{1}{6}&\frac{5}{36}&\frac{7}{54}\\\\
2&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}&\frac{5}{24}&\frac{7}{36}\\
\\
\hline\\
\alpha_n&\frac{1}{2}&\frac{5}{12}&\frac{7}{18}&\frac{1\,631}{4\,320}
\end{array}
$$
La tabla de la izquierda muestra un triangular de la región de pesos $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots$ peso $\frac{1}{n}$ de la fila $n$. Estos pesos se utilizan para generar las entradas de la tabla de la derecha y $\alpha_n$ que es la suma de las entradas en el $n$-ésima columna. Se denota filas y columnas a partir de $2$, de modo que la parte inferior izquierda del elemento es$a_{22}=\frac{1}{2}$, mientras que la parte superior derecha del elemento es $a_{55}=\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}$. Tenemos
\begin{align*}
\color{blue}{\alpha_2}&=a_{22}\color{blue}{=\frac{1}{2}}\\
\color{blue}{\alpha_3}&=a_{32}+a_{33}\\
&=\frac{1}{2}a_{22}+\frac{1}{3}a_{22}\\
&=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\color{blue}{=\frac{5}{12}}\\
\color{blue}{\alpha_4}&=a_{42}+a_{43}+a_{44}\\
&=\frac{1}{2}\left(a_{32}+a_{33}\right)+\frac{1}{3}\left(a_{32}+a_{33}\right)+\frac{1}{4}a_{33}\\
&=\frac{5}{24}+\frac{5}{36}+\frac{1}{24}\color{blue}{=\frac{7}{18}}\\
\color{blue}{\alpha_5}&=a_{52}+a_{53}+a_{54}+a_{55}\\
&=\frac{1}{2}\left(a_{42}+a_{43}+a_{44}\right)+\frac{1}{3}\left(a_{42}+a_{43}+a_{44}\right)
+\frac{1}{4}\left(a_{43}+a_{44}\right)+\frac{1}{5}a_{55}\\
&=\frac{7}{36}+\frac{7}{54}+\frac{13}{288}+\frac{1}{120}\color{blue}{=\frac{1\,631}{4\,320}}
\end{align*}
A partir de los cálculos anteriores se deriva la regla para construir las entradas $a_{k,l}$:
Tome $\frac{1}{k}$ veces la suma de todas las entradas de la columna de $k-1$ fila y mayor o igual $\max\{l-1,2\}$.
La relación de recurrencia es
\begin{align*}
a_{n,j}&=\frac{1}{j}\sum_{k=\max\{j-1,2\}}^{n-1}a_{n-1,k}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad n\geq 3,j=2,\ldots,n\\
\color{blue}{\alpha_2}&\color{blue}{=\frac{1}{2}}\\
\color{blue}{\alpha_n}&=\sum_{j=2}^na_{n,j}\color{blue}{=\sum_{j=2}^n\frac{1}{j}\sum_{k=\max\{j-1,2\}}^{n-1}a_{n-1,k}\qquad\qquad n\geq 3,j=2,\ldots,n}\tag{3}
\end{align*}
Podemos mostrar la validez de (3) por la sucesiva aplicación de la relación de recurrencia para obtener
\begin{align*}
\color{blue}{\alpha_n}&=\sum_{j_1=2}^na_{n,j_1}\\
&=\sum_{j_1=2}^n\frac{1}{j_1}\sum_{j_2=\max\{j_1-1,2\}}^{n-1}a_{n-1,j_2}\\
&=\sum_{j_1=2}^n\frac{1}{j_1}\sum_{j_2=\max\{j_1-1,2\}}^{n-1}\frac{1}{j_2}\sum_{j_3=\max\{j_2-1,2\}}^{n-2}a_{n-2,j_3}\\
&\ \,\vdots\\
&=\sum_{j_1=2}^n\frac{1}{j_1}\sum_{j_2=\max\{j_1-1,2\}}^{n-1}\frac{1}{j_2}
\cdots\sum_{j_{n-2}=max\{j_{n-3}-1,2\}}^{3}\frac{1}{j_{n-2}}\sum_{j_{n-1}=\max\{j_{n-2}-1,2\}}^{2}a_{2,j_{n-1}}\\
&\,\,\color{blue}{=\frac{1}{2}\sum_{j_1=2}^n\frac{1}{j_1}\sum_{j_2=\max\{j_1-1,2\}}^{n-1}\frac{1}{j_2}
\cdots\sum_{j_{n-2}=max\{j_{n-3}-1,2\}}^{3}\frac{1}{j_{n-2}}}\tag{3}
\end{align*}
y (3) es el mismo que (1) con la suma en orden inverso.
Notas:
Es interesante, que sumando las columnas en la tabla de la derecha de arriba da una monótonamente creciente sucesión convergente a $\frac{1}{e}$.
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \alpha_n=\frac{1}{e}
\end{align*}
Lo que me parece increíble es el uso de las pesas $\frac{1}{j}$ utilizado en la expresión de $\alpha_n$ (ver, por ejemplo, (2)), que hace de apariencia similar a
\begin{align*}
\sum_{j=0}^n(-1)^j\frac{1}{j!}
\end{align*}
pero sin la alternancia de signo.
Sería genial si alguien pudiera demostrar la convergencia de $(\alpha_n)$ al resolver la relación de recurrencia (3).
Podría ser interesante que la misma estructura de la relación de recurrencia (3), pero con diferentes pesos, es decir, $n-1$ en lugar de $\frac{1}{n}$ y diferentes valores de límite $a_{2,n}=1$ en lugar de $\frac{1}{2}$ $a_{n,n}=n-1$ en lugar de $\frac{1}{n}$ está archivada como A185423 en OEIS que indica el número de Ordenadas los bosques de $k$ el aumento de avión unario-árboles binarios con $n$ nodos.
$$
\begin{array}{r|cccc}
n&&&&\\
\hline\\
5&&&&3\\\\
4&&&3&3\\\\
3&&2&2&2\\\\
2&1&1&1&1\\
\end{array}
\qquad\qquad\qquad
\begin{array}{r|rrrr}
A185423&&&&\\
\hline\\
5&&&&24\\\\
4&&&6&36\\\\
3&&2&6&30\\\\
2&1&1&3&9\\
\end{array}
$$
