permita que$G=\mathbb{Q}^*$ y$\varphi: G \to G$ donde$\varphi$ intercambien 2,3 en la factorización de energía principal. Demuestra que es un isomorfismo grupal

Question

deje $(G, \cdot)=(\mathbb{Q}^x, \cdot) = (\{\frac{p}{q}\mid\frac{p}{q} \neq 0\}, \cdot)$ $\varphi: G \to G$ donde $\varphi$ de los intercambiadores de 2,3 en el primer poder de la factorización y $\varphi$ es la asignación de identidad para todos los números racionales tales que su numerador y el denominador son primos relativos con 2 y 3 i.g. $\varphi(3^22^4)=2^23^4$ Probar $\varphi$ es un grupo homomorphism

deje $\alpha, \beta \in G$ donde tienen el primer factorizations $\alpha = 2^{k_1}3^{l_1}t$ $\beta = 2^{k_2}3^{l_2}r$ donde $t,r$ son relativamente primos 2 y 3. Además, $k_i, l_j \in \mathbb{Z}$.

ahora,

$\varphi(\alpha\beta)=\varphi(2^{k_1}3^{l_1}t \cdot 2^{k_2}3^{l_2}r) = \varphi(2^{k_1+k_2}3^{l_1+l_2}tr) = 2^{l_1+l_2}3^{k_1+k_2}tr = 2^{l_1}3^{k_1}t \cdot 2^{l_2}3^{k_2}r = \varphi(\alpha)\cdot\varphi(\beta)$

así que claramente es un homomorphism. y aquí está mi pregunta. Si yo fuera a hacer $\varphi$ nuevo yo volver a los elementos originales, $\alpha, \beta$ en otras palabras $\alpha = \varphi(\varphi(\alpha))$, por lo que es su propia inversa. Y factorización en primos es única hasta el orden de los factores por lo tanto, este sería bijective. es suficiente para concluir de esto que es es un automorphism y por lo tanto un isomorfismo, o es necesario mostrar inyectiva y surjective ?

Answer 1

Jason en su comentario ha respondido completamente a su pregunta específica. Me gustaría decir que si nos atenemos a los racionales positivos, único teorema de factorización puede ser interpretada como: $\mathbf{Q_{>0}^*}$ es un servicio gratuito de abelian grupo en el conjunto de los números primos. Su mapa de $\varphi$ es simplemente una permutación(en realidad, una transposición) de una base de dos elementos y lo lleva a un único automorphism de ese grupo. Todos los racionales es un producto directo de los racionales positivos con un grupo cíclico de orden 2, y no hay ninguna dificultad en la extensión de este como un automorphism.