Prueba del módulo divisible:$\mbox{Ext}(R/aR; M) = 0, \forall a \in R \Rightarrow M $ es divisible

Question

Este es un problema a partir de mis notas de la conferencia, y realmente no sé cómo abordarlo. Cualquier ayuda será apreciada.

Lee la pregunta como sigue:

Problema

Dado un integrante del dominio $R$, y un $R$-módulo de $M$. Es el siguiente afirmación verdadera:

Si $\mbox{Ext}(R/aR; M) = 0, \forall a \in R$, $M$ es divisible.

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De hecho, el problema tiene 2 partes, la primera parte se pide probar:

Si $M$ es divisible, a continuación,$\mbox{Ext}(R/aR; M) = 0, \forall a \in R$, que por fin lo he conseguido.

De vuelta a la segunda parte, creo que la afirmación es verdadera. Y lo que actualmente estoy luchando es que yo realmente no sé cómo se relacionan $M$, e $R$. He tratado de encontrar una especial módulo de $W_m$, para cada una de las $m \in M$, de tal manera que, al conocer esta secuencia exacta divide $0 \rightarrow M \xrightarrow{\chi} W_m \xrightarrow{\sigma} R/aR \rightarrow 0$, puedo demostrar que $m$ es divisible por $a$. Pero como no sé cómo se relacionan $M$, e $R$, no creo que la forma correcta de hacerlo.

Gracias a ustedes mucho,

Y tener un buen día,

Answer 1

Deje $W_m$ ser el cociente de $R\oplus M$ por el submódulo generado por $(a,-m)$. Tenemos un mapa de $\pi:W_m\rightarrow R/aR$ el envío de la clase de $(x,y)$ a la clase de $x$. Este mapa está bien definida porque si $(x,y)=(x',y')+r(a,-m)$,$x-x'=ra\in aR$. Esto es claramente surjective, y el núcleo se compone de las clases de $(x,y)$ tal que $x\in aR$. Si $x=ar$, $(x,y)$ se encuentra en la misma clase como $(x,y)-r(a,-m)=(0,y+rm)$, de modo que el núcleo de $\pi$ se compone de las clases de elementos de la forma $(0,y)$.

También tenemos un mapa de $i:M\rightarrow W_m$ envío de $y\in M$ a la clase de $(0,y)$. Si $y\in \ker i$, $(0,y)$ $(0,0)$ están en la misma clase en $W_m$. Por lo tanto, no existe $r$ tal que $(0,y)=r(a,-m)$, lo $ra=0$. Desde $R$ es un dominio y $a\neq 0$, está claro que $r=0$. En consecuencia,$y=0$. Por lo tanto $i$ es inyectiva. Por inspección de la imagen de $i$ está de acuerdo con nuestra descripción para el núcleo de $\pi$. Por lo tanto, tenemos una extensión de $0\rightarrow M \rightarrow W_m \rightarrow R/aR \rightarrow 0$. Desde el Ext grupo se desvanece, $W_m\cong M \oplus R/aR$; en particular, tenemos un mapa de $\phi:W_m\rightarrow M$ la división de la inclusión.

Tenga en cuenta que $a(1,0)=(0,m)$ como elementos de $W_m$. Deje $u=\phi(1,0)\in M$. A continuación,$au=\phi(0,m)=\phi(i(m))=m$. Por lo tanto $m$ es divisible por $a$.