¿Necesita probar esta declaración? "Si una función tiene un mínimo y máximo, no es monótona"?

Question

Voy a la prueba de la monotonía. He calculado el extremums primero y se dio cuenta de que la función tiene un mínimo y un máximo.

Esto es suficiente para afirmar que la función no es monótona porque tiene un mínimo y un máximo? O es una prueba necesaria para demostrar esta afirmación?

Esto me hubiera ahorrado un montón de tiempo en el examen de si sólo se puede escribir eso.

Vamos a tomar tareas como:

"La prueba si la función es monótona" o "Es la función monótona en $\mathbb{R}?$"

¿Qué te parece?

Answer 1

Como varias personas han señalado, esta afirmación es falsa. La siguiente afirmación es verdadera: Vamos a $I = (a,b)$ ser un intervalo abierto, y supongamos $f : I \to \mathbb{R}$ es monótona creciente y tiene un mínimo de $f(x_0) = m$ y un máximo de $f(x_1) = M$. A continuación, $f$ es idéntica $m$ $(a,x_0)$ e idénticamente $M$$(b,x_1)$. Usted puede formular una declaración análoga para monótona decreciente de funciones intercambiando $x_0$ $x_1$ en estos dos intervalos en que $f$ es constante.

Para probar esto, sólo tenga en cuenta que si $x \in (a,x_0)$, luego monótona creciente implica $f(x) \leq f(x_0)$, pero el hecho de que $x_0$ es un mínimo implica $f(x) \geq f(x_0)$.

Una consecuencia de esta declaración formulada tu pregunta del título es que si una función tiene un mínimo y máximo en un intervalo abierto y no es constante en algunos "final" intervalos de no ser monótono. Como los comentarios han demostrado, estas dos hipótesis adicionales son necesarios. Si el intervalo no está abierto, el mínimo y el máximo que podría ocurrir en los puntos finales y la función no necesita ser monótonas en el medio. Y si el min y max se producen en la cola termina, de nuevo, la función no necesita ser monótonas en el medio.