Estoy trabajando en el siguiente ejercicio en O'Neill, el "Semi-Geometría de Riemann":
(Página 53, 12) Vamos a $b$ ser un bilineal simétrica forma en $V$. El nullspace de $b$$N = \{v : b(v,w) = 0, \, \forall w \in V\}$. El nullcone de $b$ es el conjunto $\Lambda$ de todos los vectores nulos en $V$. Deje $A = \Lambda \cup 0$, lo $A \supset N$. Probar que: (a) $N$ es un subespacio, sino $A$ no es menos $A=0$ o $V$. (b) $b$ es no degenerada iff $N=0$; $b$ es definitivo iff $A=0$. (c) $b$ es semidefinite iff $N=A$.
Creo que dos de las afirmaciones aquí son falsas.
$A$ no es un subespacio menos es $0$ o $V$.
Contraejemplo: Tome $V = \mathbb{R}^2$, y deje $b(e_1,e_1) = b(e_2,e_2) = 1$ pero $b(e_1,e_2) = -1$. Entonces si escribimos $v = (x,y)$, $b(v,v) = 0$ corresponde a la ecuación
$$0 = x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$$
cuyo espacio de solución es la diagonal subespacio generado por $(1,1)$, que es un subespacio igual a ni $0$ ni $V$.
$N=A$ implica $b$ semidefinite.
Contraejemplo: Tomar $V = \mathbb{R}^2$, $b(e_1,e_1) = -1$, $b(e_2,e_2) = b(e_1,e_2) = 0$. Entonces si $v = (x,y)$,$b(v,v) = -x^2$, lo $A$ es el conjunto de vectores con el cero en la primera coordenada. Sin embargo, si $v$ cero en su primera coordenada, entonces es en $N$, lo $A=N$. Sin embargo, $b$ no es semidefinite.
Son estos, de hecho, contraejemplos, o estoy simplemente confundido? Gracias por su tiempo.