He estado leyendo sobre módulos D, y he visto una prueba de que D_X, el anillo de operadores diferenciales sobre una variedad, es "casi conmutativo", es decir, que su anillo graduado asociado es conmutativo. Ahora, sé que con las condiciones de Ore, podemos localizar anillos casi conmutativos, y así obtenemos una gavilla legítima D con la que hacer geometría. Pero, ¿hasta dónde llega la analogía? ¿Qué teoremas son verdaderos para los anillos conmutativos pero no pueden modificarse razonablemente para que sean verdaderos para los anillos casi conmutativos (por ejemplo, los noeteros de izquierda y derecha o algo así)?
Respuestas
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No se entusiasme demasiado con la teoría de la geometría algebraica para álgebras casi conmutativas. Un anillo puede ser casi conmutativo y seguir teniendo un comportamiento muy extraño. Las álgebras de Weyl (los operadores diferenciales en el espacio afín n) son un gran ejemplo, ya que son casi conmutativas, y sin embargo:
- Son anillos sencillos. Por tanto, o bien no tienen "subesquemas cerrados", o bien la noción de subesquema cerrado debe corresponder a algo diferente de un cociente.
- Tienen dimensión global n, aunque su álgebra graduada asociada tiene dimensión global 2n. Por tanto, la dimensión global puede saltar, incluso a lo largo de deformaciones planas.
- Existen módulos proyectivos no libres del enésimo álgebra de Weyl (de hecho, ¡módulos establemente libres!). Así, intuitivamente, Spec(D) debería tener haces de líneas no triviales, aunque sea un espacio 2n "casi" afín.
El mero hecho de tener un anillo de cocientes no es una condición tan fuerte para un anillo. Por ejemplo, el teorema de Goldie dice que cualquier dominio noetheriano correcto tiene un anillo de cocientes, y esa es una clase de anillos bastante amplia.
Además, ¿qué gavilla estás pensando que te da D? Tienes todas estas localizaciones de Ore, y así puedes intentar construir algo como un esquema a partir de esto. Sin embargo, empiezas a encontrarte con algunos problemas, porque los subespacios cerrados ya no se corresponderán con los anillos de cociente. En la geometría algebraica conmutativa, aprovechamos el milagro de que el núcleo de un mapa cociente es la intersección de un número finito de ideales primarios, cada uno de los cuales corresponde a un ideal primo y, por tanto, a una localización. En los anillos no conmutativos, no existe tal conexión entre los ideales de dos caras y los conjuntos de Ore.
Aquí hay algo que podría funcionar mejor (o tal vez esto es lo que usted está hablando en primer lugar). Si tienes un álgebra filtrada positivamente A cuya álgebra graduada asociada es conmutativa, entonces A_0 es conmutativa, y así puedes intentar pensar en A como una gavilla de álgebras en Spec(A_0). El requisito de casi conmutatividad aquí nos asegura que cualquier conjunto multiplicativo en A_0 es Ore en A, y así obtenemos un verdadero conjunto de álgebras en Spec(A_0). Para D_X, esto da el conjunto de operadores diferenciales en X. Otras álgebras que funcionan de forma muy similar son las álgebras envolventes de los algebroides de Lie, y también los anillos de operadores diferenciales retorcidos.
tgmdbm
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Consulte el documento operador diferencial en anillo no conmutativo En este caso, Rosenberg-Lunts definen la versión no conmutativa del operador diferencial de Grothendieck. Este marco funciona perfectamente para un anillo no conmutativo arbitrario. Como aplicación. Desarrollaron teoría cuántica de módulos D como un caso especial de la teoría de módulos D no conmutativos. Trataron el caso mucho más general en Cálculo diferencial en geometría algebraica no conmutativa
Como Greg mencionó anteriormente, considerando el ejemplo del álgebra de Weyl. En la geometría conmutativa, no hay una buena noción de subesquema cerrado (al menos para la diagonal). Por lo tanto, el paso crucial es encontrar cuál es la noción correcta de subesquema cerrado para el anillo no conmutativo que llevó a la definición de subesquema no conmutativo (naturalmente va al contenido de la geometría algebraica no conmutativa). En el artículo que mencioné anteriormente, dieron la noción correcta de subesquema no conmutativo y la definición correcta de diagonal. Luego definieron el operador diferencial no conmutativo como cierto tipo de bimódulo diferencial y desarrollaron la teoría de la localización de los operadores diferenciales. Entonces uno puede localizar los operadores diferenciales (lo que significa que los módulos D (no conmutativos) se convierten automáticamente en esquemas no conmutativos).
Aviso Este marco funciona para cualquier no conmutativo anillo, ya sea un módulo D no conmutativo (muy no conmutativo, como el anillo de operadores diferenciales cuantizados) o un módulo D conmutativo habitual (no conmutativo pero casi conmutativo)
