$\lim_{x\to 0}\left[1^{\frac{1}{\sin^2 x}}+2^{\frac{1}{\sin^2 x}}+3^{\frac{1}{\sin^2 x}}+\cdots + n^{\frac{1}{\sin^2 x}}\right]^{\sin^2x}$

Question

ps

El límite es de forma$$\lim_{x\to 0}\left[1^{\frac{1}{\sin^2x}}+2^{\frac{1}{\sin^2x}}+3^{\frac{1}{\sin^2x}}+\cdots + n^{\frac{1}{\sin^2x}}\right]^{\sin^2x}$$(\infty)^{0} $ $

No sé cómo proceder más.

Answer 1

Insinuación:

ps

Answer 2

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$ \begin{align} \lim_{x\to 0}\left(\sum_{k=1}^n k^{\csc^2(x)}\right)^{\sin^2(x)}&=n\lim_{x\to 0}\left(\sum_{k=1}^n (k/n)^{\csc^2(x)}\right)^{\sin^2(x)} \tag 1\\\\ &=n \tag 2 \end {align} $$

Al pasar de$(1)$ a$(2)$, procedimos evaluando el límite

$$ \begin{align} \lim_{x\to 0}\left(\sum_{k=1}^n (k/n)^{\csc^2(x)}\right)^{\sin^2(x)} &=\lim_{x\to 0}e^{\sin^2(x)\log\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}(k/n)^{\csc^2(x)}\right)}\\\\ &=\lim_{x\to 0}e^{\sin^2(x)\,O\left(\sum_{k=1}^{n-1}(k/n)^{\csc^2(x)}\right)}\\\\ &=e^0\\\\ &=1 \tag 2 \end {align} $$

Answer 3

$$ \begin{align} &\lim_{x\to0}\left[1^{\frac1{\sin^2(x)}}+2^{\frac1{\sin^2(x)}}+3^{\frac1{\sin^2 (x)}}+\cdots+n^{\frac1{\sin^2(x)}}\right]^{\sin^2(x)}\\ &=\lim_{x\to\infty}\left[1^x+2^x+3^x+\cdots+n^x\right]^{1/x}\\ &=n\lim_{x\to\infty}\left[\left(\frac1n\right)^x+\left(\frac2n\right)^x+\left(\frac3n\right)^x+\cdots+\left(\frac{n-1}n\right)^x+1^x\right]^{1/x}\\[4pt] &=n\,[0+0+0+\cdots+0+1]^0\\[8pt] &=n \end {align} $$

Answer 4

Esto no tiene la forma de$(\infty)^0$ ya que$1^{\infty}$ no está determinado, por lo tanto, intente con este proceso.