Necesito ayuda para demostrar/comprender una desigualdad

Question

Me han pedido que demuestre la siguiente desigualdad, dado que $f:\mathbb{D}\to\mathbb{C}$ es una función analítica en el disco unitario abierto $\mathbb{D}\subset\mathbb{C}$ .

$|f(w)-f(0)-wf~^\prime(0)|\leq|w|^2\sup|f(z)-f(0)-zf~^\prime(0)|$ donde el supremum se toma sobre todos los $z\in\mathbb{D}$ y $w$ es cualquier elemento de $\mathbb{D}$ .

Desde $f$ es analítica en $\mathbb{D}$ es igual a su representación en serie de potencias en $z=0$ allí. Así que $f(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n$ donde $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ .

Vemos que la expresión $f(z)-f(0)-zf~^\prime(0)$ no es más que la expansión en serie de potencias de $f$ sin los dos primeros términos. Esta es otra función analítica $g(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=2}^\infty a_nz^n$ que satisface $g(0)=g~^\prime(0)=0$ . De manera equivalente, queremos demostrar $|g(w)|\leq|w|^2\sup|g(z)|$ o $|\frac{g(w)}{w^2}|\leq\sup|g(z)|$ (el supremum sigue por encima de $z\in\mathbb{D}$ ).

Aquí es donde me encuentro. Tengo que $\frac{g(w)}{w^2}=\displaystyle\sum\limits_{n=2}^\infty a_nw^{n-2}$ sigue siendo una función analítica (¿verdad?). Pero no estoy seguro de lo que necesito para obtener la desigualdad.

$\bf{UPDATE:}$ Podemos utilizar el lema de Schwarz sobre $h(w)=\frac{g(w)}{w}$ para obtener $|\frac{g(w)}{w}|\leq|w|$ desde $h(0)=0$ . ¿Podemos demostrar que el supremum es al menos $1$ ?

Answer 1

Utiliza el Lema de Schwarz sobre la función $g(w)/\sup|g|$ para ver que $|g(w)|\le|w| \sup |g|$ . A continuación, utilice el lema de nuevo sobre la función

$$h(w)= \frac{g(w)}{w \sup|g|}$$

para encontrar la desigualdad deseada, $|g(w)|\le |w|^2 \sup|g|$ .