la forma más fácil de encontrar gradiente de$\frac{1}{\mathrm{cosh^3}(kr)}$

Question

Entonces tengo que encontrar:

ps

donde$$\mathrm{grad}f = \frac{1}{\mathrm{cosh^3}(kr)}$ $

el problema principal es que obtuve componentes realmente extraños, como para$$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$:

ps

¿Hay posibilidad de que yo tenga razón con el cálculo?

Answer 1

Simplemente usando la regla de la cadena$\nabla f(g(\vec r))=f'(g(\vec r))\nabla g(\vec r)$ rinde

ps

Answer 2

Supongamos que el valor de una función depende únicamente de$r$. Observando que$$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{x}{r}$ $ y similar para$y$ y$z$, tenemos ese$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x}\frac{df}{dr} = \frac{x}{r}\frac{df}{dr}$ $ y así$$\nabla f = \frac{\vec{r}}{r}\frac{df}{dr} = f' \hat{r}$ $ En consecuencia, para su$f$, $$\nabla f = -\frac{3k\cosh^2(kr)\sinh(kr)}{\cosh^6(kr)}\hat{r}$ $ que es casi equivalente a tu expresión. El componente$x$ sería$$-\frac{3k\sinh(kr)}{\cosh^4(kr)} \frac{x}{r}$ $ Entonces, simplemente olvidó el$x$ allí.

Answer 3

Su función es radialmente simétrica (solo depende de$r$), y también su gradiente. Usando coordenadas esféricas (corrígeme si estás usando cualquier otra cosa), el gradiente es simplemente dado por

ps

Si desea expresar esto usando coordenadas cartesianas, solo necesita saber cómo expresar$$ \nabla f = \partial_r (f) \, \mathbf{e}_r = - 3 k \operatorname{sech}^3{(k r)} \, \tanh{(k r)} \, \mathbf{e}_r $ en términos de$\mathbf{e}_r$. De la Wikipedia:

$$ \begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat\rho} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end {bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end {bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end {bmatrix} $$

Answer 4

No solo es posible que tengas razón, sino que tienes razón, excepto por un factor de$x$. Lo que puedes notar es que el gradiente está en todas partes proporcional a$(x,y,z)$. Esto se debe a la simetría hiperesférica de la función, que hace que todas las normales pasen por el origen.

Por supuesto, en tu respuesta, el gradiente siempre es proporcional al$(1,1,1)$ y eso viola la simetría de la función original, por lo que tenías razón en preocuparte.

Answer 5

Para cualquier suficientemente función derivable

$F:(x, y, z): \Bbb R^3 \to \Bbb R \tag{1}$

que puede escribirse como una función de $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ solamente, tenemos la fórmula general

$\nabla F(r) = \dfrac{dF(r)}{dr} \nabla r \tag{2}$

que se desprende directamente de la regla de la cadena, a saber.

$\dfrac{\partial F}{\partial x} = \dfrac{dF(r)}{dr} \dfrac{\partial r}{\partial x}, \tag{3}$

con el correspondiente epxpressions para el $y$ $z$ derivados. También,

$\dfrac{\partial r}{\partial x} = \dfrac{\partial \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{\partial x} = \dfrac{1}{2 \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}(2x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} =\dfrac{x}{r}, \tag{4}$

y del mismo modo

$\dfrac{\partial r}{\partial y} =\dfrac{y}{r}, \tag{5}$

$\dfrac{\partial r}{\partial z} =\dfrac{z}{r}. \tag{6}$

Así tenemos

$\nabla r = (\dfrac{\partial r}{\partial x}, \dfrac{\partial r}{\partial y}, \dfrac{\partial r}{\partial z}) = \dfrac{1}{r}(x, y, z). \tag{7}$

En la realización de los cálculos anteriores que, por supuesto, suponemos que permanecer lejos del punto de $(0, 0, 0)$ donde $r$ no es diferenciable.

A continuación, se deduce de (2) y (7) que

$\nabla F(r) = \dfrac{dF(r)}{dr} \dfrac{1}{r}(x, y, z). \tag{8}$

Tomando

$F(r) = f(r) = \dfrac{1}{\cosh^3 (kr)} = \cosh^{-3}(kr) \tag{9}$

tenemos

$f'(r) = \dfrac{df(r)}{dr} = -3k \cosh^{-4}(kr) \sinh(kr)$ $ = -3k \cosh^{-3}(kr) \dfrac{\sinh (kr)}{\cosh (kr)} = -3k \cosh^{-3}(kr) \tanh (kr) = -3k \tanh (kr) \mathrm{sech^3}(kr); \tag{10}$

ahora sigue de (8)-(10) que

$\nabla f(r) = -\dfrac{3k \tanh (kr) \mathrm{sech^3}(kr)}{r}(x, y, z) = -3k \tanh (kr) \mathrm{sech^3}(kr) \dfrac{(x, y, z)}{r}; \tag{11}$

vemos que el $x$-componente de $\nabla f$ contiene un factor de $x$ etc.

Quizás vale la pena señalar que la expresión

$\dfrac{(x, y, z)}{r} = \dfrac{(x, y, z)}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \tag{12}$

ocurre en (11) es, en realidad,$\vec{e}_r$, el vector unitario en la dirección radial:

$\vec{e}_r = \dfrac{(x, y, z)}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}; \tag{13}$

por lo tanto (8) puede escribirse

$\nabla F(r) = \dfrac{dF(r)}{dr} \vec{e}_r, \tag{14}$

un útil fórmula general.

En el cierre, se nota que no hay nada en especial en tres dimensiones sobre estas fórmulas. De hecho, con $F:\Bbb R^n \to \Bbb R$ y coordina $x_1, x_2, \dots, x_n$ tenemos $r = \sqrt{\sum_{i = 1}^n x_i^2}$ y

$\vec{e}_r = \dfrac{(x_1, x_2, \ldots, x_n)}{r}; \tag{15}$

entonces (14) aún se une.