¿Encontrando inversa en este caso?

Question

Definir una transformación lineal $T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$, de tal manera que $T(x) = [x]_B$ ($B$-vector coordenado de $x$).

$B = \{b_1, b_2, b_3\}$, que es una base para $\mathbb{R}^3$.

$b_1 = (1, 1, 0)$ $b_2 = (0, 1, 1)$ $b_3 = (1, 1, 1)$

$T$ es una matriz de transformación de $T(x) = Ax$ por cada $x$$\mathbb{R}^3$. Encontrar $A$.

Creo que para solucionar esto, en primer lugar, escribir la ecuación

$x = [P]_B[x]_B$, el cambio de coordinar los tiempos de la $B$ vector coordenado $x$ es igual a $x$.

Tomando el inverso de a $[P]_B$ rendimiento $(P[B])^{-1}x = [x]_B$. Esto coincide con la forma de

$T(x) = Ax$, ya que enchufar $T(x)$ rendimientos $[x]_B = Ax$. Así que encontrar a $(P[B])^{-1}$, que es la inversa de la base $B$, me daría $A$.

Alguien puede comprobar si eso es correcto? Creo que llegué a $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$.

Si no, alguien puede decirme cómo debo resolverlo?

Answer 1

$T : V\rightarrow W$ es una transformación lineal. Así, en $V=W={\bf R}^3$ elegimos bases de lo que podemos escribir $T$ en una matriz de la forma $A$. Como usted dijo, en $V$ tenemos una base canónica $E:=\{e_i\}$ y en $W$ elegimos $B:=\{ b_i\}$. Así que, en realidad, $T(x)=[x]_B$ $$A[x]_E=[x]_B$$

Por ejemplo, $$[e_1]_E=(1,0,0),\ [b_i]_E=b_i,\ [b_1]_B=(1,0,0)$$

Que es $b_1$ fijo es un vector, pero la expresión es diferente wrt elegido.

Ahora para encontrar $A$, debemos aplicar un adecuado vectores. Para el cálculo, podemos elegir los vectores en $B$ :

Tenga en cuenta que $$A[b_i]_E=[b_i]_B \Rightarrow A[b_1b_2b_3]= I$$

Por lo tanto $$A = [b_1b_2b_3]^{-1}$$

Answer 2

Su respuesta no es correcta; de lo contrario, A operado sobre b1, b2, b3 debe dar e1, e2, e3 (la base estándar). Lo que puede hacer es escribir e1, e2, e3 en combinación lineal de b1, b2, b3 y de esa combinación averiguar A.