¿Cómo ampliar un conjunto ortogonal de vectores existente?

Question

Supongamos que tengo $k$ vectores en $\mathbb R^n$ que son ortogonales entre sí ( $k \ll n$ ). ¿Existe una forma eficiente de encontrar otro vector que sea ortogonal a todos estos vectores dados?

Si ponemos el $k$ vectores en un $k \times n$ matriz, denotada por $A$ entonces el problema es idéntico a encontrar un vector en el espacio nulo de $A$ . Por supuesto, se puede recurrir al método de resolución de un sistema lineal subdeterminado para encontrar el espacio nulo de $A$ pero al hacer esto hemos obtenido todos los vectores que abarcan el espacio nulo de $A$ . Para $k \ll n$ Esto no es eficiente, ya que sólo necesito un vector en el espacio nulo.

Me pregunto si existe una forma más inteligente.

Answer 1

Se podría normalizar el $k$ vectores y convertirlos en las columnas de una matriz $Q$ . Entonces $I - QQ^T$ es la proyección sobre el complemento ortogonal del tramo del $k$ vectores. Cualquier columna no nula de esta matriz es ortogonal a la $k$ vectores.

Answer 2

Podrías tratar de elegir la primera $k+1$ componentes de cada vector y formar $v_1,\ldots,v_k$ en $\mathbb{R}^{k+1}$ . Entonces puedes hacer el producto cruzado de estos vectores $w=v_1\times\ldots\times v_k\in \mathbb{R}^{k+1}$ . Por último, puede definir $v=(w,0,\dots,0)\in\mathbb{R}^n$ . Si $w=0$ empezar a elegir los componentes de la segunda y definir $v=(0,w,0,\dots,0)\in\mathbb{R}^n$ y así sucesivamente. Sin embargo, creo que esto sólo sería útil si $k$ es mucho menor que $n$ porque necesitas calcular un determinante.

Answer 3

El problema de las conjeturas y comprobaciones aleatorias es el comportamiento no determinista. Como $\lim k \to n$ El tiempo de espera será cada vez más largo. Por eso, encontrar algo en el espacio nulo tendría más sentido, a no ser que puedas averiguar una transformación fácil que convierta los vectores ortogonales existentes en los vectores de coordenadas unitarias: $\vec e_1, \vec e_2 \ldots$ y a partir de ahí puedes generar el resto de vectores. Una vez que tengas todos los vectores que quieras, transfórmalos inversamente al sistema de coordenadas original.