Evaluar un límite integral cuando la regla de L'Hospital no funciona.

Question

Quiero evaluar el límite$$\lim_{n\to\infty}n\int_{1-\frac{1}{n}}^{1}f(x)dx.$ $

He visto que la solución a esto es$f(1)$, pero no veo cómo. Mi idea era usar la regla de L'Hospistal, pero eso no funcionó.

Answer 1

Hay un teorema de valor medio para integrales. $$\frac{1}{b-a}\int_a^bfdx=f(c)$$ for some $ c \ en [a, b] $.

Answer 2

Solo use el teorema fundamental del cálculo integral : si establecemos$\;F(x)=\displaystyle\int_1^xf(x)\,\mathrm d\mkern1mu x$, y$f$ es continuo, entonces$F$ es diferenciable y$\;F'(x)=f(x)$.

En el presente caso, consideramos la función$G(x)=\displaystyle\int_{1-x}^1f(x)\,\mathrm d\mkern1mu x=-F(1-x)$. Por composición,$$G'(x)= -F'(1-x)\cdot(-1)=f(1-x).$ $ En particular, ya que$G(0)=0$,$$G'(0)=f(1)=\lim_{n\to\infty}\frac{G\bigl(\frac1n\bigr)}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}n\int_{1-\tfrac1n}^1f(x)\,\mathrm d\mkern1mu x. $ $

Answer 3

\begin{align*} \lim_{n\rightarrow \infty} n\int_{1-\frac{1}{n}}^1 f(x) dx &=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\int_0^1f(x) dx - \int_0^{1-\frac{1}{n}}f(x) dx}{\frac{1}{n}}\\ &=\frac{d\left(\int_0^t f(x)dx\right)}{dt}\Big|_{t=1}\\ &=f(1). \end{align*}

Answer 4

puede usar L'HOpital solo expresar la integral como

ps

aquí$$ \frac{F(1)-F(1-1/n)}{1/n} $ es la integral de$ F(X)$ si uso l'hopital en ni get

$ f(x) $$$ -f(1-1/n)(1/n^2 )(-n^2)= f(1) $ n \ sim \ infty $