Evaluar $\int_0^\pi \frac{1}{\sin^\beta\left(\frac{\theta}{2}\right) + 1} d\theta$

Question

Mathematica no puede hacerlo, ¿alguna solución?

$$\int_0^\pi \frac{1}{\sin^\beta\left(\frac{\theta}{2}\right) + 1} d\theta, \qquad\qquad \beta>0.$$

Answer 1

Esto parece ser intratable incluso con técnicas avanzadas. Formalmente (y no es difícil de justificar), se puede expandir el integrando en una serie geométrica, asumiendo $\beta > 0$ : $$ \frac{1}{(\sin\theta/2))^\beta + 1} = \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n (\sin \theta / 2)^{n \beta} $$ Cada término puede ser integrado, $$ \int_0^\pi (\sin \theta / 2)^{n \beta} d \theta =\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{1}{2} (\beta n+1)\right)}{\Gamma \left(\frac{\beta n}{2}+1\right)} $$ Ahora para incluso $\beta = 2k$ la suma es $$ \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{1}{2} (\beta n+1)\right)}{\Gamma \left(\frac{\beta n}{2}+1\right)} = \pi \cdot \, _k F_{k-1}(\frac{1}{\beta}, \frac{3}{\beta},\dots, \frac{\beta-1}{\beta}, \frac{2}{\beta}, \frac{4}{\beta}, \dots, \frac{\beta - 2}{\beta}; -1) $$ que es una función hipergeométrica generalizada con un número de parámetros que depende de $\beta$ . No está claro cómo escribir esto para el general $\beta$ .