Conflicto entre el teorema de Gauss y el ejemplo$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$

Question

El teorema de Gauss dice que si$R$ es un UFD entonces también lo es$R[t]$.

Sin embargo, está claro que en$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, existen elementos irreducibles que no son primos ($x=1+\sqrt{-5}$). Como un elemento en un UFD es irreductible si es primo, podemos ver que$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ no es un UFD, pero el teorema de Gauss dice que sí.

¿Que me estoy perdiendo aqui? ¿Hay alguna otra condición que se aplique al$R$ en el teorema de Gauss? ¿Cómo resolver el aparente conflicto? ¿O no hay conflicto y he malentendido algo?

Answer 1

El teorema de Gauss se aplica exclusivamente al anillo polinómico$R[x]$. $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ no es un anillo polinómico en$\mathbb{Z}$, es el cociente de un anillo polinómico por$x^2+5$.