Ecuación funcional$ f(x)+f(x+1)=x$

Question

¿Qué funciones satisfacen$f(x)+f(x+1)=x$?

Lo intenté, pero no sé si mi respuesta es correcta. $f(x)=y$

$y+f(x+1)=x$

$f(x+1)=x-y$

$f(x)=x-1-y$

$2y=x-1$

$f(x)=(x-1)/2$

Answer 1

Su conclusión no está bien, y no se encuentra correctamente; su definición de $f(x)=y$ es un poco engañosa, porque nos han de interpretar como aplicar a un determinado $x$ y no a todos los $x$. Así que cuando el paso desde $$f(x+1)=x-y$$ a $$f(x)=x-1-y$$ por "cambio" en el argumento (que será admisible si $x$ era "libre"), usted está dando un paso en falso, ya que, si queríamos estar seguros, la forma correcta de hacer este cambio sería establecer $u=x+1$ y, a continuación, $$f(u)=u-1-y$$ lo cual es cierto, pero no podemos decir $f(u)=y$.

Una forma de abordar este tipo de problema es tratar de encontrar alguna función relacionada a $f$ que satisface una simple relación. En particular, supongamos que nos vamos a $$g(x)=f(x)-\frac{x}2-\frac{1}4$$ que podemos elegir para "deshacer" la $x$ en el lado izquierdo. A continuación, podemos mostrar $$g(x)+g(x+1)=f(x)+f(x+1)-\frac{x}2-\frac{x+1}2-\frac{1}4-\frac{1}4=x-\frac{x}2-\frac{x+1}2-\frac{1}4-\frac{1}4=0.$$ Así, podemos decir que podemos construir soluciones por la elección de cualquiera $g$ satisfactorio $$g(x)=-g(x+1)$$ y la adición de la cantidad de $\frac{x}2+\frac{1}4$ a ellos. Así, por ejemplo, en una vena similar a su solución, obtenemos $f(x)=\frac{x}2+\frac{1}4$ mediante el establecimiento $g$ a cero en todas partes. De manera más general, podemos elegir los valores de $g$ arbitrariamente en $[0,1)$ y, a continuación, utilizar la relación $g(x+n)=(-1)^n g(x)$ por entero $n$ para encontrar su valor en todas partes. Una función simple que podríamos utilizar sería $g(x)=\sin(\pi x)$, lo que da la solución de $f(x)=\sin(\pi x)+\frac{x}2+\frac{1}4$, sin embargo hay infinitamente muchas soluciones posibles.

Answer 2

La sustitución de $x$ $x+1$ consigue

$$f(x+1)+f(x+2)=x+1=f(x)+f(x+1)+1$$

Esto demuestra que $$f(x+2)=f(x)+1$$

Deje $g(x)=f(x)-\frac{x}{2}$. A continuación, $g(x)$ es periódica con período de $2$, y

$$g(x)+g(x+1)=-\frac{1}{2}$$

Esto le da a su respuesta:

Definir $g(x)$ ser cualquier función en $[0,1)$. Definir $g:[1,2) \to \mathbb R$ por $$g(x):=-\frac{1}{2}-g(x-1)$$

Esto define $g:[0,2) \to \mathbb R$. Ampliar a $\mathbb R$ por pedir que $g$ 2-periódica.

Ahora, vamos a $f(x)=g(x)+\frac{x}{2}$.

Es fácil comprobar que $f$ satisface la condición dada, y la de arriba muestra que cualquier función que satisface la condición dada tiene esta forma.

Ahora, la respuesta puede cambiar si uno agrega a condiciones como la continuidad, la diferenciabilidad, pero aún así creo que hay la suficiente libertad para generar una cantidad no numerable de ejemplos.

Answer 3

$f(x) = x - 1 - y$ Está Mal. $y$ es una función de$x$. En mi opinión, fue un buen intento. No habría pensado en ese enfoque. De todos modos, ¿se supone que$f(x)$ es lineal? Escriba:$f(x) = ax + b$ si es así.

Luego, conecta:

$a(x + 1) + b + ax + b = 1$

Insinuación: $1 = 0x + 1$.

Answer 4

Concluyendo que de$f(x+1)=x-y$ sigue$f(x)=x-1-y$ es incorrecto, porque la variable$x$ no se modificó en el argumento$y$.

Pruebe la Ansatz$f(x)=ax+b$ para algunos coeficientes$a,b$ para resolver esta ecuación.

Answer 5

Este es un lineales no homogéneas problema. La filosofía general para tales problemas es el siguiente:

(a) Encuentre la solución general $f_h$ de los asociados homogénea problema $$f(x)+f(x+1)=0\ .$$ Para este fin, escribir $f_h(x):=e^{i\pi x} g(x)$ con una nueva función desconocida $x\mapsto g(x)$. Usted va a obtener un enorme conjunto de soluciones.

(b) Encontrar una sola solución particular $x\mapsto f_p(x)$ de la ecuación dada. Para este fin de hacer el "Ansatz" $f_p(x):=a x+b$ con coeficientes indeterminados $a$$b$, y corregir $a$ $b$ tal que $f_p$ cumple con el funcional determinada ecuación.

(c) La solución general de la ecuación funcional es entonces $$f(x)=f_h(x)+f_p(x)\ .$$