Función analítica derivada de la pieza real

Question

Vi Ahlfors el libro de Análisis Complejo. Mencionó que la analítica de la función $f(z)$ puede ser derivada a partir de una determinada parte real $u(x,y)$ donde $x$ $y$ son reales.

Dijo que $$ u(x,y)=\frac{1}{2}[f(x+iy)+\bar{f}(x-iy)]. \etiqueta{1} $$

Sin embargo, mencionó que es "razonable" que (1) se mantiene incluso cuando se $x$ $y$ 'complejo'. Por qué?

Creo que, si $x$ $y$ son reales, entonces la parte real $u(x,y)$ debe ser por escrito por $$ u(x,y)=\frac{1}{2}[f(z)+\bar{f}(\bar{z})], \etiqueta{2} $$ donde $z=x+iy$.

Por lo tanto, si $x$ $y$ son complejos, (2) debe ser igual a $$ u(x,y)=\frac{1}{2}[f(x+iy)+\bar{f}(\bar{x}-i\bar{y})]. \etiqueta{3} $$ Es que me confunde por un largo tiempo. Por favor me ayude.

Gracias!

Answer 1

La forma en que se utiliza aquí, dada una función de $f$, una nueva función de $\overline{f}$ puede ser definido por $$ \overline{f}\big(z\big) = \overline{f(\overline{z})} . $$ Por ejemplo, si $f$ es un polinomio, cambio de todos los coeficientes a sus complejos conjugados, pero salir de la variable.

Vamos a tratar de $f(z) = z^2$ como ya he sugerido anteriormente. Por lo $\overline{f}(z) = z^2$. Entonces $f(x+iy) = (x+iy)^2 = (x^2-y^2)+2ixy$; $\overline{f}(x-iy) = (x-iy)^2=(x^2-y^2)-2ixy$; así $$ \frac{1}{2}\big[f(x+iy)+\overline{f}(x-iy)\big] = x^2-y^2 . $$ Como se requiere, esto vale incluso para el complejo de $x$ $y$ .