La expansión de $ \bigl ( \sum x_i \bigr )^4$

Question

Muestra que $$( \sum_ {i=1}^n X_i)^4= \sum_ {i=1}^n X_i^4+4 \sum_ {i \neq j}^n X_i^3X_j+3 \sum_ {i \neq j}^n X_i^2X_j^2+6 \sum_ {i \neq j \neq k}^n X_i^2X_jX_k+ \sum_ {i \neq j \neq k \neq l}^n X_iX_jX_kX_l$$ Por favor, muéstralo paso a paso. Gracias de antemano.

Answer 1

Más directamente, si lo prefiere:

$$ \begin {align} \left ( \sum_i X_i \right )^4&= \left ( \sum_i X_i \right ) \left ( \sum_j X_j \right ) \left ( \sum_k X_k \right ) \left ( \sum_\ell X_ \ell\right ) \\ &= \sum_i\sum_j\sum_k\sum_\ell X_iX_jX_kX_ \ell\\ &= \sum_ {i,j,k, \ell } X_iX_jX_kX_ \ell\\ \end {align}$$

Ahora sólo hay que separar las 4-tuplas de acuerdo a las multiplicidades.

$$ \begin {align} &= \sum_ {i=j=k= \ell } X_iX_jX_kX_ \ell\\ &+ \left ( \sum_ {i=j=k \neq\ell } X_iX_jX_kX_ \ell + \sum_ {i=j= \ell\neq k} X_iX_jX_kX_ \ell + \sum_ {i= \ell =k \neq j} X_iX_jX_kX_ \ell + \sum_ { \ell =j=k \neq i} X_iX_jX_kX_ \ell\right ) \\ &+ \left ( \sum_ {i=j \neq k= \ell } X_iX_jX_kX_ \ell + \sum_ {i=k \neq j= \ell } X_iX_jX_kX_ \ell + \sum_ {i= \ell\neq k=j}X_iX_jX_kX_ \ell\right ) \\ &+ \left ( \text {six such things with two equal indices and a third and fourth distinct index} \right ) \\ &+ \sum_ {i, j, k, \ell \text { distinct}} X_iX_jX_kX_ \ell\end {align}$$

Answer 2

Cuando se eleva una suma a la cuarta potencia, se intenta multiplicar esa suma por sí misma cuatro veces (¿o es tres veces?). Cada término de la primera copia será multiplicado por cada término de la segunda copia, que a su vez será multiplicado por cada término de la tercera copia, y por último por cada término de la cuarta.

Así que en el producto expandido y no condensado, cada término consistirá en un monomio de grado cuatro. Supongo que podría escribir $X_iX_jX_kX_ \ell $ . ¿Pero qué pasa si los cuatro índices son los mismos? Tendrías $X_i^4$ . Y para cualquier particular $i$ sólo uno de los monomios de grado cuatro será que $X_i^4$ . Así que $ \sum\limits_iX_i ^4$ representa algunos de los monomios de grado cuatro en el producto expandido.

¿Y qué pasa si $i=k$ y $j= \ell $ pero $k \neq j$ ? Entonces habría un monomio $X_i^2X_j^2$ . Esta vez, para cualquier pareja en particular $i$ y $j$ hay en realidad seis maneras de obtener un monomio $X_i^2X_j^2$ . Cuenta todas las formas en que el índice $i$ podría haber surgido dos veces de las cuatro sumas originales: $$X_iX_iX_jX_j, \quad X_iX_jX_iX_j, \quad X_iX_jX_jX_i, \quad X_jX_jX_iX_i, \quad X_jX_iX_jX_i, \quad\text { and } \quad X_jX_jX_iX_i.$$ Sin embargo, si planeas sumar más de $i \neq j$ entonces cada uno $X_i^2X_j^2$ se levanta dos veces. Así que el producto expandido de cuatro sumas tiene 3 copias de $X_i^2X_j^2$ y luego otra vez 3 copias más cuando $i$ y $j$ lugares de comercio. Así que $3 \sum\limits_ {i \neq j}X_i^2X_j^2$ representa más de los monomios de grado cuatro en el producto expandido.

Continúe estas consideraciones, con $i=k= \ell\neq j$ , $i= \ell\neq j \neq k \neq i$ y, por último, con los cuatro índices diferentes.

Answer 3

De El teorema del multinomio :

Para cualquier número entero positivo $m$ y cualquier número entero no negativo $n$ la fórmula multinomial nos dice cómo una suma con $m$ se expande cuando se eleva a un poder arbitrario $n$ : $$ (x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_ {k_1+k_2+ \cdots +k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots , k_m} \prod_ {1 \le t \le m}x_{t}^{k_{t}}\,, $$ donde $$ {n \choose k_1, k_2, \ldots , k_m} = \frac {n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!} $$ es un coeficiente multinomial.

En tu caso $n=4$ entonces los coeficientes multinomiales son

• $ {4 \choose 4,0,0,0}=1$ ,
• $ {4 \choose 3,1,0,0}=4$ ,
• $ {4 \choose 2,2,0,0}=6$ ,
• $ {4 \choose 2,1,1,0}=12$ y
• $ {4 \choose 1,1,1,1}=24$ .

Esto difiere de sus valores porque contamos de manera diferente. Para obtener sus coeficientes, divida por la facultad del número de ocurrencias degeneradas, por ejemplo. dos " $2$ "está en $ {4 \choose 2,2,0,0}=6$ para conseguir $ \frac6 {2!}=3$ o cuatro " $1$ "está en $ {4 \choose 1,1,1,1}=24$ para conseguir $ \frac {24}{4!}=1$ .