Es fácil darse cuenta de que dado un número natural N el número de dobletes que suman N son $\frac{N+(-1)(N \pmod 2)}{2}$ Así que pensé que podría llegar a alguna fórmula recursiva en el sentido de que encontrado el número de dobletes podría encontrar el número de tripletes y así sucesivamente ..., ejemplo: N=3 el único doblete es 2+1=3 -no dicho aún pero 2+1, y 1+2 cuentan como uno- entonces podría contar el número de manera en que el número 2 puede ser expresado como la suma indicada y obtendría el número total de maneras en que 3 puede ser escrito como una suma. Pero esto no parece tan eficiente, por lo que me preguntaba si hay otra manera de atacar el problema y si hay alguna referencia a este problema, como si es bien conocido su uso, una vez leí que esto tiene un comportamiento caótico, y también leí que se utilizó en la probabilidad, pero no recuerdo de dónde saqué esa información. Así que si saben algo les agradecería me avisaran, gracias de antemano.
Respuestas
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Este número se conoce como número de partición y recientemente Ken Ono ha encontrado una fórmula "sencilla".
Está preguntando por particiones enteras. Se trata de un tema muy estudiado y puede consultar http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partitions para más detalles.
No me queda claro si quiere $p_k(N)$ que es el número de maneras de escribir $N$ como una suma de $k$ naturales (el orden no cuenta), o si desea $p(N)$ que es el número total de formas de escribir $N$ como suma de números naturales (sin contar el orden). Por supuesto, $p(N)$ no es más que la suma de todos los valores de $p_k(N)$ para $k=1,2,\dots,N$ por lo que ambos conceptos están estrechamente relacionados y ambos han sido objeto de numerosos estudios. $p(N)$ pregunta es mucho más difícil que la $p_k(N)$ cuestión - al menos para los pequeños $k$ existen fórmulas sencillas para $p_k(N)$ .
Entonces, ¿qué buscas?
