¿Por qué la "simetría de planeo" es de su propio tipo?

Question

Artin de Álgebra de las páginas 155 y 156 de la lista de los tipos de simetría de una figura plana como:

1. Reflectante
2. Rotación
3. De traslación
4. Glide

Él va a decir "Figuras tales como los patrones de papel tapiz puede tener de dos a hablar de otras figuras de haber combinaciones de independiente" simetrías. EDIT: dice: "... después de haber combinaciones de independiente de traslación de simetrías". Ver Joriki la respuesta.

¿Por qué no se deslizan simetría contar como tener dos independientes (reflexión + traducción) simetrías? Si vamos a contar combinaciones, ¿por qué no han de rotación + traducción, etc. como sus propios tipos demasiado?

Answer 1

Es posible tener glide simetría sin tener simetría de reflexión. Pienso que lo que se entiende por dos independientes de simetrías es que un patrón puede tener al mismo tiempo la reflexión y la simetría simetría de traslación, como un infinito tira de Cs:

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

Esto ha reflexión de simetría a través de una línea horizontal y la simetría de traslación por un vector horizontal de magnitud un múltiplo de la anchura de la C carácter.

Un patrón como el de abajo, sin embargo, ha glide simetría y la simetría de traslación, pero no de la reflexión de la simetría.

bpbpbpbpbpbpbpbpbpbpbpbpb

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edit: Dada la diversidad de los debates en los comentarios, yo creo que puede ser útil señalar que todos los no-identidad isometrías del plano se puede expresar como una reflexión, una composición de dos reflexiones, o un compuesto de tres reflexiones. Una isometría que es de una sola reflexión es sólo una reflexión; si una figura es invariante bajo una transformación, se dice que tiene simetría de reflexión. Una isometría que es una composición de dos reflexiones sobre las líneas paralelas es una traducción; si una figura es invariante bajo una transformación, se dice que tiene simetría de traslación. Una isometría que es una composición de dos reflexiones sobre las líneas de intersección es una rotación; si una figura es invariante bajo una transformación, se dice que tiene simetría rotacional. Una isometría que es un compuesto de tres reflexiones (y no puede ser expresado como una sola reflexión) es una reflexión de desplazamiento; si una figura es invariante bajo una transformación, podemos decir que ha glide-reflexión de la simetría. Cualquier composición de más de tres reflexiones puede ser expresado en términos de un menor número de reflexiones.

Answer 2

Tal vez algunos ejemplos más de ser útil.

Mira Artin, fig. 1.4 en la página. 156, que representa a una estilizada tallo con hojas alternando los lados. Esta figura tiene simetría deslizada, porque una reflexión en la línea horizontal ("madre") seguido por una horizontal de traducción (a través de la distancia entre dos consecutivos hojas) lleva de nuevo a sí mismo. Tenga en cuenta que lo hace no tiene ninguna simetría reflectiva, es decir, no hay una línea sobre la cual la reflexión se llevan la figura de nuevo a sí mismo. El punto es que, aunque el glide es una composición de una reflexión y de una traducción, ni de estos movimientos por sí mismo lleva a la figura de nuevo a sí mismo. Después de la reflexión a solas, las hojas están en el mal lados de la madre; lo mismo con la traducción solo.

Aviso el mismo es cierto de Isaac ...bpbpbpbp... ejemplo. Una reflexión en el eje horizontal se vuelve todo del revés. Por lo tanto no es una simetría de la figura, ya que los cambios de la figura. (Si parpadea mientras yo realizo la reflexión, usted todavía va a saber algo es diferente). Sin embargo, un deslizamiento, es decir, la composición de esta reflexión con una horizontal de la traducción de la longitud de una letra, se va a llevar a cada uno de la b a la siguiente p y viceversa. Esta es una simetría porque lleva la figura de nuevo a sí mismo. (Si parpadea mientras realizo el glide, usted no se dará cuenta de que la figura ha cambiado.)

Uno más (hermosa) ejemplo: M. C. Escher Jinetes: http://www.tessellations.org/eschergallery18.shtml Hay un deslizamiento (reflexión sobre un eje vertical seguida de una traslación vertical) que lleva el rojo jinetes a los blancos y viceversa. Sin embargo, no hay reflexión que por sí lleva la gente de a caballo a la gente de a caballo.

En cuanto a por qué no hay un nombre distinto a cada una traducción compuesto con una rotación, joriki la respuesta es la razón: (rotación + traslación) es una rotación alrededor de un punto diferente. Para ilustrar, considere la posibilidad de girar el plano de 180 grados sobre el origen y, a continuación, la traducción es de 2 unidades a la derecha. La rotación envía $(x,y)$ $(-x,-y)$y la traducción envía esto a $(2-x,-y)$. Observe que el compuesto mapa de $(x,y) \mapsto (2-x,-y)$ es de 180 grados de rotación alrededor de $(1,0)$.

Answer 3

Dice el libro "Figuras tales como los patrones de papel tapiz puede tener dos independientes simetrías de traslación".

El ejemplo de la frase es una figura con dos independientes de traslación de las simetrías en dos direcciones diferentes. Cada una de esas simetrías es una simetría en su propio derecho.

En el caso de deslizamiento de simetría, no hay una reflexión simetría en su propio derecho; sólo la combinación de una reflexión y de una traducción de las hojas de la figura invariante.

En el último ejemplo, la rotación de + la traducción, no hay nada nuevo, ya que puede ser expresado como una rotación alrededor de un eje desplazado.