calcular la función de densidad de probabilidad de la diferencia absoluta de dos variables aleatorias

Question

Si $X$ $Y$ son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad $f$$g$, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la diferencia de $Y − X$ está dado por la correlación cruzada . En contraste, la convolución de f * g da la función de densidad de probabilidad de la suma de $X + Y$.

lo que me gustaría tener es el de funciones de densidad de probabilidad de $|y-x|$ o $(y-x)^2$. Es eso posible ?

es que el equivalente a la siguiente con dos histograma ?

para (bin b1 en Histogram1)
 para (bin b2: Histogram2)
 prob = b1.probabilidad * b2.probabilidad
 distancia += prob * abs(b1.valor - b2.valor)

Answer 1

Como usted ha dicho, la densidad de $X-Y$ es la correlación cruzada $h(t) = \int{-\infty}^\infty f(t+y) g(y) \, dy$. La densidad de $|X-Y|$ es $f{|X-Y|}(t) = h(t) + h(-t)$ $t > 0$, $0$ $t 0$, $0$ $t

Answer 2

Ampliando la respuesta de Robert (adaptado a $Y-X$, en vista de la pregunta).

Vamos $h(t)=\int_{ - \infty }^\infty {f(x)g(t + x)dx}$, $t \in \mathbb{R}$, ser la correlación cruzada de las densidades $f$ $g$ ( $X$ $Y$ , respectivamente), que es la función de densidad de probabilidad de $Y-X$. Queremos demostrar que, para cualquier $t > 0$, $$ {\rm P}(|Y-X| \leq t) = \int_0^t {[h(u) + h( - u)]du} $$ (lo que implica que la densidad de $|Y-X|$$h(t)+h(-t)$$t > 0$; $t < 0$ la densidad es trivialmente $0$). De hecho, $$ \int_0^t {[h(u) + h( - u)]du} = \int_0^t {h(u)du} + \int_0^t {h( - u)du} = \int_0^t {h(u)du} + \int_{ - t}^0 {h(u)du} , $$ y a partir de $$ \int_0^t {h(u)du} = {\rm P}(0 \leq Y-X \leq t) \;\; {\rm y} \;\; \int_{ - t}^0 {h(u)du} = {\rm P}(-t \leq Y-X \leq 0), $$ de ello se sigue que $$ \int_0^t {[h(u) + h( - u)]du} = {\rm P}(-t \leq Y-X \leq t) = {\rm P}(|Y-X| \leq t). $$ Habiéndose demostrado que la $h(t)+h(-t)$ es la densidad de $|Y-X|$ ( $t > 0$ ), la densidad de $(Y-X)^2$ puede ser encontrado fácilmente de la siguiente manera. Para cualquier $t > 0$, $$ {\rm P}((Y-X)^2 \leq t) = {\rm P}(|Y-X| \leq \sqrt t) = \int_0^{\sqrt t } {[h(u) + h( - u)]du} . $$ Un cambio de variable $u \mapsto u^2$ da $$ {\rm P}((Y-X)^2 \leq t) = \int_0^t {[h(\sqrt u ) + h( - \sqrt u )]\frac{{du}}{{2\sqrt u }}} , $$ lo que implica que la densidad de $(Y-X)^2$$(h(\sqrt t)+h(-\sqrt t))/(2\sqrt t)$$t > 0$; $t < 0$ la densidad es trivialmente $0$.

EDIT: UN punto clave aquí es que (a no negativo medibles función) $f_Z$ es una función de densidad de probabilidad de $Z$ si y sólo si $F_Z (z) = \int_{ - \infty }^z {f_Z (} u)du$ $\forall z \in \mathbb{R}$, donde $F_Z$ es la función de distribución de $Z$. (En este caso, $Z$ se dice es absolutamente continua con función de densidad de $f_Z$.)

EDIT: En el caso de que continuamente diferenciable funciones de distribución (en lugar de la general, el caso absolutamente continuo de las funciones de distribución), usted puede obtener los resultados anteriores simplemente de la siguiente manera. Deje $H$ denota la función de distribución de $Y-X$ y, como en el anterior, $h$ su función de densidad de probabilidad. Entonces, para cualquier $t > 0$, $$ {\rm P}(|Y-X| \leq t) = {\rm P}(-t \leq Y-X \leq t) = {\rm P}(Y-X \leq t) - {\rm P}(Y-X \leq -t) = H(t) - H(-t). $$ Por lo tanto $$ \frac{d}{{dt}}{\rm P}(|Y - X| \le t) = h(t) + h( - t). $$ Como para la función de densidad de $(Y-X)^2$, la primera nota de que, por cualquier $t > 0$, $$ {\rm P}((Y-X)^2 \leq t) = {\rm P}(|Y-X| \leq \sqrt{t}) = H(\sqrt t ) - H( - \sqrt t ). $$ Por lo tanto $$ \frac{d}{{dt}}{\rm P}((Y - X)^2 \le t) = \frac{{h(\sqrt t )}}{{2\sqrt t }} + \frac{{h( - \sqrt t )}}{{2\sqrt t }} = \frac{{h(\sqrt t ) + h( - \sqrt t )}}{{2\sqrt t }}. $$

Answer 3

Es una pregunta muy grande.

Sí, usted puede encontrar el pdf de cualquier combinación de variables, hay muchas maneras.

El que funciona la mayoría del tiempo el uso de la característica de la función:

http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)#Basic_manipulations_of_distributions

Usted tiene muchos complejos y exóticos herramientas para explotar las propiedades de la FQ.

De todos modos este proceso en gran medida depende del tipo de variable. E. g.: Es mucho más fácil con la exponencial de las variables que con los no exponencial de las variables.