Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo y $I,J$ ideales en $R$ . Denote por $R[[X]]$ el anillo de las series de potencias formales con coeficientes en $R$ . Si $A\subseteq R$ , denótese por $A^e$ el ideal en $R[[X]]$ generado por el conjunto $A$ .
Es fácil demostrar que $(I\cap J)^e\subseteq I^e\cap J^e$ pero hace lo contrario $I^e\cap J^e\subseteq(I\cap J)^e$ ¿se mantiene? Pido un esbozo de prueba o un contraejemplo. Gracias.
Tenga en cuenta que en general $\mathfrak aR[[T]]$ puede estar estrictamente contenida en $\mathfrak a[[T]]$ , donde $\mathfrak a\subset R$ es un ideal. (Aquí $\mathfrak aR[[T]]$ denota la extensión de $\mathfrak a$ a $R[[X]]$ y $\mathfrak a[[T]]$ es el ideal de la serie de potencias formal que tiene todos los coeficientes en $\mathfrak a$ .) Esto ocurre, por ejemplo, cuando $\mathfrak a$ es contablemente (generada) pero no finitamente generada. (Si $\mathfrak a=(a_0,a_1,\dots,a_n,\dots)$ , entonces la serie $f=\sum_{n\ge0}a_nT^n$ pertenece a $\mathfrak a[[T]]$ , pero no está en $\mathfrak aR[[T]]$ Si no es así $\mathfrak a$ sería generada finitamente).
Además, $(aR\cap bR)R[[T]]\subseteq aR[[T]]\cap bR[[T]]=(aR\cap bR)[[T]]$ para cualquier $a,b\in R$ .
Ahora utiliza el mismo anillo y los ideales de esta respuesta .
La respuesta del usuario26857 utiliza ideales no generados infinitamente, así que supongo que es una pregunta interesante para restringirnos a los anillos noetherianos, que toman una gran parte del álgebra conmutativa y la geometría algebraica. Voy a suponer $R$ es un anillo noetheriano conmutativo (sin tener necesariamente un $1$ ) y $\mathfrak a, \mathfrak b$ son ideales de $R$ (No quiero pensar en el caso no conmutativo y hablar de ideales izquierda-derecha aunque también podría funcionar...)
Si queremos demostrar que $(\mathfrak a \cap \mathfrak b) R[[t]] = \mathfrak a R[[t]] \cap \mathfrak b R[[t]]$ basta con demostrar que $\mathfrak a R[[t]]= \mathfrak a[[t]]$ ya que está bastante claro que $(\mathfrak a \cap \mathfrak b)[[t]] = \mathfrak a[[t]] \cap \mathfrak b[[t]]$ .
La inclusión ( $\subseteq$ ) es evidente para cualquier $R$ . A la inversa, supongamos que $f = \sum_{n \ge 0} c_n t^n \in \mathfrak a[[t]]$ y escribir $\mathfrak a = (a_1,\cdots,a_m)$ (ya que $R$ es noetheriano, cualquier ideal está finitamente generado). En particular, $$ c_n = \sum_{j=0}^m r_{n,j} a_j \quad \Longrightarrow \quad \sum_{n \ge 0} c_n t^n = \sum_{j=0}^m a_j \left( \sum_{n \ge 0} r_{n,j} t^n \right) \in \mathfrak aR[[t]]. $$ Obsérvese que el problema de esta prueba en el caso no etereo es precisamente la finitud de la suma, que se rompe cuando el ideal no está finitamente generado.
Espero que eso ayude,
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