La órbita elíptica cambia a medida que aumenta la masa de una estrella

Question

Estoy estudiando las Leyes de Kepler, específicamente la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Sé que si la Tierra fuera más masiva, la órbita no se vería afectada significativamente. Si el Sol fuera más masivo, sé que la velocidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol aumentaría, pero ¿cómo cambiaría la forma de la órbita? Este es un caso teórico, descuidando la conservación de la masa y asumiendo que el radio y el volumen del Sol no cambian.

Answer 1

Creo que la respuesta es bastante complicada y depende de (i) los plazos de la ganancia de masa; (ii) la excentricidad inicial; (iii) la posición del objeto en su órbita cuando la ganancia de masa se produce.

El caso de "adiabático" cambios de masa que se aborda en el Veras et al. (2011). En esta instancia, la pérdida de masa de la escala de tiempo es mucho más largo que el periodo orbital. Si este es el caso, entonces ellos proporcionan una solución analítica de la forma $$ e(t) = e_0 - \frac{P \dot{M}}{2\pi \mu} \frac{\left(1-e_0^2\right)^{3/2}\sin f}{1 - e_0 \cos f},$$ donde $f$ es la verdadera anomalía, $e_0$ es la inicial de la excentricidad, $\dot{M}$ es el tiempo derivado de la masa estelar y $\mu = (M+m)$ (la masa total de la estrella y el planeta). Por un positivo $\dot{M}$ la excentricidad disminuye con el tiempo como la órbita se encoge.

Sin embargo, si usted quiere decir, asumir que algunos de los parámetros del sistema Sol-Tierra se mantengan de la misma, mientras que otros son instantáneamente cambió, entonces, que sería diferente. Debe especificar lo que se mantienen constantes, la energía, momento angular, ambos?

Voy a asumir que usted desea conservar el momento angular constante. Por lo tanto si $M_1 \gg M_2$, podemos decir que el momento angular antes de que la ganancia de masa $$ J_0 = M_2 (a_0[M_{1,0} + M_2](1 -e_0^2))^{1/2} \simeq M_2 (a_0 M_{1,0}(1 -e_0^2))^{1/2}$$ y esto es igual al momento angular después de que la ganancia de masa $$ J = M_2 (a[M_1 + M_2](1 - e^2))^{1/2} \simeq M_2 (a M_1(1 - e^2))^{1/2} $$ Aquí, $M_{1,0}$ es el original de la masa estelar y $M_1$ es el nuevo, el de mayor masa estelar; $e_0$ es el original de la excentricidad y la $e$ es la nueva excentricidad; $a_0$ es el original de la separación media y $a$ la nueva separación media. La equiparación de estos, se han $$1 - e^2 = (1-e_0^2) \left[\frac{a_0 M_{1,0}}{a M_1}\right] \tag{1}$$

Para trabajar de lo que sucede con la excentricidad tenemos que trabajar de lo que sucede al final el factor.

La ecuación de la energía para una órbita elíptica nos dice que $$ -\frac{GM_{1,0}M_2}{2a_0} = -\frac{GM_{0,1}M_2}{r} + \frac{1}{2}M_2 V^2 \tag{2}$$ donde $V$ es la instantánea de la velocidad orbital, en la instantánea de la separación de $r$ y de nuevo yo asumo $M_2 \ll M_{1,0}$.

Una ecuación similar se aplica después de que la ganancia de masa: $$ -\frac{GM_{1}M_2}{2a} = -\frac{GM_{1}M_2}{r} + \frac{1}{2}M_2 V^2 \tag{3}$$ donde se asume que el mismo instantáneo de la velocidad y la posición.

Usando la ecuación (2) para obtener una expresión para $r^{-1}$ y sustituyendo esto en la ecuación (3), tengo $$ \frac{1}{a} = \frac{1}{a_0} +\frac{V^2}{GM_{1,0}} - \frac{V^2}{GM_1} \tag{4}$$

Esto nos dice que la masa es mayor, a continuación, $a<a_0$ y la órbita se encoge. Sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (1) $$ 1- e^2 = (1-e_0^2)\left[ \frac{a_0 V^2}{GM_1}\left(1 - \frac{M_{1,0}}{M_1}\right) + \frac{M_{1,0}}{M_1}\right] \tag{5}$$

Para una órbita circular, $e_0=1$, $a_0 V^2/GM_{1,0}=1$ y $$ e^2 = 1 - \left[ \frac{M_{1,0}}{M_1}\left(2 - \frac{M_{1,0}}{M_1}\right) \right]$$ por ejemplo, Si $M_{1,0}/M_1= 0.5$ (la masa se duplica), a continuación,$e=0.5$.

Para otros inicial excentricidades, el resultado depende del valor instantáneo de $a_0 V^2/GM_{1,0}$, la cual puede ser mayor o menor que 1. Así que si el cambio de masa se lleva a cabo con la Tierra como su perihelio, de $a_0 V^2 = GM_{1,0} (1+e_0)/(1-e_0)$ y $$ 1- e^2 = (1-e_0^2)\left[ \frac{M_{1,0}}{M_{1}}\left(\frac{1+e_0}{1-e_0}\right)\left(1 - \frac{M_{1,0}}{M_1}\right) + \frac{M_{1,0}}{M_1}\right] \tag{6}$$

Si la pérdida de masa ocurrido en el afelio $$ 1- e^2 = (1-e_0^2)\left[ \frac{M_{1,0}}{M_{1}}\left(\frac{1-e_0}{1+e_0}\right)\left(1 - \frac{M_{1,0}}{M_1}\right) + \frac{M_{1,0}}{M_1}\right] \tag{7}$$

Así, por ejemplos concretos - vamos a aumentar la masa del Sol en un 10%, para que la Tierra con $e_0=0.017$. Usando la ecuación (6), si este se produce en el perihelio, a continuación,$e = 0.084$, en el afelio $e=0.100$.

Answer 2

Si la órbita existente ya fuera circular, cualquier cambio como el que describa daría lugar inmediatamente a una órbita elíptica. Después de eso, la órbita tenderá hacia una órbita circular. Cuánto tiempo lleva eso depende de las fuerzas de marea totales. Un cuerpo rígido tomaría más tiempo que uno flexible a medida que se intercambian fuerzas de marea.

Answer 3

Kepler las leyes no son correctas: No área de la ley,ninguna de las órbitas elípticas,ni período.Comenzando con Newton de la mecánica de las leyes de Kepler del área de derecho no existe.Newton universal de la fuerza de atracción es radial.F=Fr. Una fuerza lateral componente perpendicular de la fuerza no existe Fp=mdVp/dt=0. A continuación, cuando se integra llegamos Vp=Ct.Kepler dice rVp=área=Ct.Newtons ecuación es una prueba.Kepler del área de la ley es una estimación. Cuando se utiliza Vp=Ct en la forma diferencial de la ecuación de conservación de la energía,obtenemos r=-4*t^2+4*t*T-4*T^2/6 como la ecuación del movimiento celeste.Esta es una espiral de órbita y no una elipse. Cuando el período de validez de la ley: Newton dice período de ley es válida para el movimiento circular con no acelerado la velocidad.Kepler dice período de ley es válida incluso para órbitas elípticas con la aceleración de la velocidad.De alta velocidad en el perihelio de baja velocidad en el afelio.Y no la sensación del cuerpo de esta aceleración?