$I(V_1)+I(V_2) \neq I(V_1 \cap V_2)$?

Question

Permita que$V_1,V_2 \subset \mathbb{A}^n(k)$ afine variedades ($k$ campo). He probado$I(V_1)+I(V_2) \subset I(V_1 \cap V_2)$, pero no sé cómo probar$\supset$. Creo que es porque esa inclusión es falsa. ¿Podría alguien ayudarme a probarlo, o dar un contraejemplo si es falso, por favor? Gracias

Answer 1

En el lenguaje clásico, esto es falso:$I_1 + I_2$ elimina la variedad correcta, pero puede no ser radical. Aquí hay un ejemplo estándar: intersecta la parábola$y=x^2$ y la línea$y=0$. El anillo está intentando legítimamente hacer un seguimiento de la tangencia, ¡y teóricamente se le permitiría hacerlo!