¿Cuáles son las instancias más importantes de la "yoga de los puntos"?

Question

En la geometría algebraica, una irreductible plan tiene un punto llamado "genérico". La justificación de esta terminología es que bajo razonable finitud hipótesis, una propiedad que se cumple en el genérico punto es en realidad genéricamente verdadera (es decir, es verdadera en una densa subconjunto abierto).

Por ejemplo, hay un resultado llamados "genéricos planitud" (EGA IV (2), el Teorema de 6.9.1). Supongamos que Y es localmente noetherian e integral, con f:X→Y una de morfismos de finito tipo y F es coherente O_X-módulo. Si F es plano sobre el punto genérico de Y (una condición que siempre está satisfecho, ya que nada es plana en un punto), entonces existe un abierto denso subscheme U⊆Y tal que F es plano sobre U.

Estoy seguro de que hay un montón de casos de este "yoga de genéricos puntos", pero cada vez que intento salir con uno, es una especie de lame (en mi ejemplo anterior, la condición en la genérica punto es vacuo). ¿Cuáles son los principales ejemplos de la yoga de los puntos?

Answer 1

Bajo ciertas condiciones, los morfismos o aritmética de los programas (planes de más de Spec ZZ) con sección determinada en un punto genérico admite un verdadero sección. Es un tema que se llama (Néron) un mínimo de modelos y hay buenas fotos dibujada :)

Tenga en cuenta que un genérico sección de un morfismos a Spec ZZ es un número racional y un verdadero sección es un número entero.

Answer 2

No te puedo dar mucho en el camino de los detalles, pero recuerdo haber leído que uno de los principales defectos en la escuela italiana y su trabajo en superficies fue que se mantuvo el uso de "genérico puntos", sin definición de un montón de pruebas, y que el agujero fue parcheado por la teoría de los esquemas de añadir exactamente los puntos que necesitaba.

Answer 3

Greg ejemplo de Hartshorne es en realidad un caso especial de una forma más general de la situación. Bajo ninguna dominante mapa de afín variedades, la inversa de la imagen de la genérica punto es el esquema asociado a un finitely generado dominio sobre el campo de función de la meta. Por lo tanto, de Noether de la normalización, esta imagen inversa esquema es de un número finito de la cubierta de un afín espacio en el que la función de campo. De ello se desprende que más de un conjunto abierto U de destino, el mapa de factores de un número finito de la cubierta de la proyección de U x k^n --> U, donde n es la trascendencia grado de la extensión de campo definido por el mapa original. En Hartshorne del ejercicio de curso n = 0. Este es el argumento de la estructura de una dominante de morfismos en Mumford, un libro rojo, I. 8, la prueba del teorema 3.

En mi experiencia, la palabra yoga ha explicado que significa "yugo" o "unión", del Sánscrito, y se refiere a cualquier práctica significaba para ayudar a lograr la unidad, o tal vez la comprensión, como el desconocido tocado anteriormente. Pero mi impresión es que la práctica de yoga es más espiritual que intelectual.

Answer 4

Un ejemplo (Hartshorne Ch II Ex 3.7) donde la condición en la que el genérico no es vacuo es:

Supongamos que f:X -> Y es un dominante finito tipo de morfismos de integral esquemas tales que Y es irreductible, y la fibra durante el genérico punto de Y es finito. Entonces existe un abierto denso subscheme U de Y tal que f: f^{-1}(U) -> U es finito.

También se puede comprobar la planitud a través de una curva mediante la comprobación de si ciertos puntos asignados a los genéricos de punto.

"Genéricos de fuga" también tiene coherente poleas en el sentido de que una gavilla de torsión se define como uno que no es compatible en el punto genérico.

Answer 5

En algunos casos, usted está buscando condiciones abiertas, y por lo tanto, debe esperar a que ellos se parecen a las de tonto cuando intenta comprobar más puntos. Otros parecen hacer uso de "semicontinuity además de cuasi-compacto maldad" teoremas. Estándar ejemplos:

1. pide algo (como una función) a no ser que se desvanece.
2. la suavidad (de lo genérico planitud).
3. morfismos tener fibra de dimensión al menos n.
4. la representabilidad de los módulos de un problema.

Para algunos de estos, tenemos que tener cuidado de llamar a la apertura de condiciones debido a la falta de fieles comportamiento como el vacío de las fibras. No siempre podemos definir la caja vacía para ser malo, por ejemplo, el vacío esquema es suave. (Es "suave + vacío geométricas de las fibras de" un estado abierto?)