Acerca de la forma$ax^2+bx+c$ siempre representa el número cuadrado perfecto

Question

Encontré que si $f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c\in\mathbb{Z},a\neq0)$ siempre forma un número cuadrado de pefect para todos $x\in\mathbb{Z}$, entonces allí debe existe $s,t\in\mathbb{Z}$ que $f(x)=(sx+t)^2$, pero no podemos demostrarlo.

$f(0)=c$ Es un cuadrado de pefect, existe $t^2=c$. Entonces considere cualquier % primer $p|t$, $f(p)=ap^2+bp+t^2=n^2$, que $p|n$, $p^2|n^2$. Porque $p^2|t^2$, debe ser $p|b$ % todo $p|t$, que $t|b$, debe ser $t|b$ pues espero b = 2st, pero me han pegado aquí. Además, por considerar $b=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$ y cuadrado perfecto módulo 4, puedo probar b es un número par.

Answer 1

Este es un caso especial de Hilbert irreductibilidad teorema, como se señaló explícitamente en Wikipedia's artículo sobre ese teorema. Especializada de la prueba produce los siguientes argumento, para lo cual es suficiente para suponer que el $f(x)$ toma la plaza de valores para un par suficientemente grande enteros consecutivos valores de $x$.

Para los números enteros $n$, vamos a $g_n = \sqrt{f(n)}$. Por hipótesis de cada una de las $g_n$ es un número entero. Por otro lado, hay algunas constantes $C$ tal que la segunda de las diferencias finitas $d_n := g_{n+2} - 2 g_{n+1} + g_n$ satisface $|d_n| < C/n$ grandes $n$. (Esto puede ser visto de varias maneras, por ejemplo, aplicando el teorema de Rolle dos veces, o mediante la ampliación de $d_n$ en una de la serie de Laurent alrededor de $n = \infty$.) Desde $d_n$ es un número entero, de ello se desprende que $d_n = 0$ grandes $n$, decir $n>N_0$. Pero esto significa que $g_n$ es el tiempo lineal: existen enteros $A,B$ tal que $g_n = An+B$ todos los $n > N_0$. A continuación, $f(n) = (An+B)^2$ para todos los $n > N_0$, lo que hace que $f(x) = (Ax+B)^2$ idéntica, QED.

Answer 2

Las soluciones de la ecuación:

$$ax^2-by^2+cx-dy+q=0$$

puede grabar si la raíz de todo: $k=\sqrt{(c-d)^2-4q(a-b)}$

A continuación, utilizando las soluciones de la ecuación de Pell: $p^2-abs^2=\pm1$

Entonces la fórmula de la solución, se puede escribir:

$$x=\frac{\pm1}{2(a-b)}(((d-c)\pm{k})p^2+2(bk\mp(bc-ad))ps+b(a(d+c)-2bc\pm{ak})s^2)$$

$$y=\frac{\pm1}{2(a-b)}(((d-c)\pm{k})p^2+2(ak\mp(bc-ad))ps-a(b(d+c)-2ad\mp{bk})s^2)$$

Si la raíz es una necesidad para averiguar si este es equivalente a la forma cuadrática en la que la raíz de todo. Esto se logra generalmente esta sustitución: $x$ en el número de $x+ty$

Se olvidó de decir. Los caracteres dentro de los corchetes no dependen de la señal de la ecuación de Pell.

Depende sólo antes de $\pm{1}$