Demuestre que si una región de reventado Q está conectada por vía de acceso, la cuenca de Q también debe estar conectada por ruta.

Question

Considere la posibilidad de un suave bijection $F:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$. Un reventado de la región es un subconjunto acotado $Q$ $\mathbb{R}^2$ con las propiedades de tipo int$Q\neq \emptyset$, $F(Q)\subseteq Q$, y $F(Q)\neq Q$. La cuenca de $Q$ se define como el conjunto de puntos en $\mathbb{R^2}$ tal que $F^j(x)\in$int$Q$ algunos $j\in\mathbb{N}$. El objetivo es mostrar que si $Q$ es la ruta de acceso conectado, la cuenca de $Q$ también debe ser la ruta de acceso conectado. Aquí va mi intento:

Deje $x_1,x_2\in \mbox{bas}Q$. A continuación, $\exists j_1,j_2\in\mathbb{N}$ tal que $F^{j_1}(x_1)\in \mbox{int}Q$$F^{j_2}(x_2)\in\mbox{int}Q$, por definición, de cuenca. Deje $j=\mbox{max}\{j_1,j_2\}$. A continuación, $F^j(x_1)\in \mbox{int}Q$$F^j(x_2)\in\mbox{int}Q$. Desde $Q$ es la ruta de acceso conectado, hay un camino continuo $s:[0,1]\rightarrow Q$$s(0)=F^j(x_1)$$s(1)=F^j(x_2)$. Desde $F$ es un buen bijection su inversa es continua y por lo tanto $F^{-j}$ es también continua. Además, $F^{-j}\circ s: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}^2$ es continua con $F^{-j}\circ s(0)=x_1$ $F^{-j}\circ s(1)=x_2$ y por lo tanto un camino de$x_1$$x_2$. Desde $x_1$ $x_2$ son arbitrarias en bas$Q$, bas$Q$ es el camino sabio conectado.

Un problema que estoy teniendo es que muestra que la ruta de acceso definida por la composición de la matriz inversa de a $F^j$ $s$ realidad se encuentra completamente en bas$Q$. El camino de $s$ está garantizada sólo a mentir en $Q$, no necesariamente de tipo int$Q$. Entonces, ¿podría ser que hay un punto en el camino de $s$ $Q$ pero no bas$Q$?. Un punto en el camino de $F^{-j}\circ s$ y descalificar como una conexión de ruta.

Answer 1

Mi comentario puede hacer para una respuesta suficientemente buena. Hay dos puntos:

1) Con sus definiciones, la cuenca de atracción no puede ser la ruta de acceso conectado, incluso si la interceptación de la región.

El problema es el que señaló en la pregunta: el camino entre el $x$ $y$ pueden incluir los puntos que se encuentran en $Q$, pero que no están en la cuenca de atracción de $Q$.

Por ejemplo:

$$F (x,y) = \left(x,y^3+\left(1- \frac{\cos(x)}{2} \right)y \right).$$

A continuación, fija $x$, el punto de $(x,0)$ es atraer a si $x \in (-\pi/2, \pi/2)+2\pi \mathbb{Z}$, neutro repulsiva si $x \in \pi/2 + \pi \mathbb{Z}$, y repulsivo de lo contrario.

Por lo tanto, $F(\mathbb{R} \times \{0\}) = \mathbb{R} \times \{0\})$, y usted puede encontrar a $\varepsilon > 0$ tal que $F(\overline{B}(0, \varepsilon)) \subset B(0, \varepsilon) \cup \{(\pm \varepsilon,0)\}$. Ahora, veamos:

$$Q := \overline{B}(0, \varepsilon) \cup \overline{B}(2 \pi, \varepsilon) \cup ([0, 2\pi]\times \{0\}).$$

Este juego tiene una barra en forma. Se puede comprobar que, por su definición, es un reventado de la región. Su interior es $B(0, \varepsilon) \cup B(2\pi, \varepsilon)$. Por lo tanto, la cuenca de atracción de $Q$ es:

$$\{(x,y) : x \in (- \varepsilon, \varepsilon) + \{0, 2\pi\}, \lim_{n \to + \infty} F^n (x,y) = (x,0) \}.$$

En particular, se tiene dos componentes conectados, separados por una distancia de $2(\pi-\varepsilon)$. No es la ruta de acceso conectado.

2) Hay mejores definiciones de la interceptación de la región.

Podemos modificar las definiciones de modo que la cuenca de atracción tiene que estar trayectoria-conectado. Por ejemplo, se puede requerir que el $bas(Q) = \bigcup_{n \geq 0} F^{-n} (Q)$, o que $Q$ ser abierto tanto estos ajustes implican que $bas(Q)$ es la ruta de acceso conectado. Sin embargo, estas modificaciones no estándar. Un rápido vistazo a la Wikipedia sugiere que el problema viene de la definición de un reventado de la región, la definición apropiada, siendo que:

$Q$ es un reventado de la región si es compacto y $F(Q) \subset int(Q)$.

Esto nos da dos propiedades más para jugar. Entonces, se puede demostrar que si $Q$ es la ruta de acceso conectado, entonces también lo es $bas(Q)$.

Deje $U := int(Q)$. Desde $Q$ es compacto y $F(Q) \subset U$ existe $\varepsilon > 0$ tal que $d(Q,U^c) \geq \varepsilon$. A continuación, $Q' := F(Q)+B(0,\varepsilon) \subset U$ $Q'$ es abierto y trayectoria-conectado. Además, dado $x$ $y$ $bas(Q)$ existe $j$ tal que $F^j (x)$$F^j (y)$$Q$, por lo que el$F^{j+1} (x)$$F^{j+1} (y)$$Q'$.

Ahora, tomar un camino entre el$F^{j+1} (x)$$F^{j+1} (y)$$Q'$, y se aplican $F^{-(j+1)}$. Usted obtener un camino entre el $x$ $y$ que se encuentra en su totalidad en $bas(Q)$.